1 前言
在控制系统的设计中，对于连续系统的控制对象，很容易求出系统的控制规律。而一般在用控制器实现离散系统时，如果采样周期选得很小，则系统离散化时只考虑将控制对象离散化，而将连续控制系统设计出的控制规律近似地作为其离散系统的控制规律，实际实现时并无多大问题。但当采样周期选得较大时，将连续系统设计的控制规律直接应用到离散控制系统实现时，系统的动态响应将变坏甚至出现不稳定现象。因此，就必须把所设计的连续系统的控制规律转换成离散系统的控制规律。我们把根据闭环连续系统的控制规律再求出离散控制规律的过程叫做数字控制系统的再设计［1］。
本文对离散状态匹配法、双线性变换法、局部最优法3种方法进行了详细的分析，并给出仿真结果。
2 离散状态匹配法
设线性控制的连续系统为
其初始条件为xc（0）＝x0。式中xc为n维状态变量，uc为m维控制向量。a，b分别为n×n，n×m维常值矩阵。连续的状态反馈控制规律是：
式中反馈增益kc∈rm×n，前向通道增益ec∈rm×m，此二矩阵给定或由某些特殊的设计目的而求得。r（t）是m维参考输入向量。把式（2—2）代入式（2—1）得：
其初始条件xd（0）＝x0，式中ud（t）是m维输入函数，其值只在等间隔采样时刻t＝kt（k＝1，2，3，…）上发生变化，而在相邻两次采样时刻kt和（k+1)t之间保持不变，其值等于kt时刻的采样值。
式中t是采样周期。对于式(2-4)与式(2-5）中的系统利用数字控制规律
式中kt＜t＜（k＋1）t，kd∈rm×n和ed∈rm×m分别是数字状态反馈增益和前向通道增益 。在式（2—6）中用了一个零阶保持器。现在，数字再设计问题就减化为由式（2—2）中的kc和ec求式（2—6）中的数字增益kd和ed，使得数字控制模型的状态在任何采样期间对于给定的r（t）＝r（kt）都能较好的同模拟系统的状态相匹配。
文献［2］提供了一个解决静态数字再设计问题的离散状态匹配法。这种方法的数字增益
和
分别是：
3 双线性变换法
双线性变换法最近已发展成一种替换的数字控制器，它们的数字再设计增益可写成下面的式子：
如果采样周期t足够小，式（3—2）中的增益可进一步化简成式（2—8）中的增益。
4 局部最优法
式（2—2）中连续时间控制器uc（t）用下面的分段常量来表示：
把式(4—1)代入式(4—2)且使xc(kt)在t＝kt时等于xd(kt)。有很多种用一个分段常数控制器ud(t)来近似模拟控制器uc(t)的方法。例如，在式(4—1)中对t＝kt时ud（t）利用了梯形法来近似uc(t)。本文将利用积分学的一个定理来近似计算uc(t)。
定理：如果一个函数g(x)有一个不变号的独立变量x，另外一个有相同独立变量的函数f(x)是连续的，两函数在开区间［a，b］上求积分，那么一定存在一个值c，且a≤c≤b,有：
上面的关系可进一步推广到如下的矩阵评估函数的情况：
式中tv
kt＋vt且0≤v≤1。假定分段常数输入函数uc（tv）如式（4—5）存在的那样 。那么，可求出在t＝kt＋t时xc（t）的值为
式中的g和h如式(4—3)所定义。
如果式(4—7)中的ud(kt)等于式(4—5)和式(4—6)中的uc(tv)，那么式(4—6)和式(4—7)就可得出xc(kt)＝xd(kt)，即当t＝kt时xd(t)的值同xc(t)的值相等。但是，求解式(4—5)中的v使之在每一个采样周期和对uc(t)每一个元素等式都成立是不太可能的。因为v的值在每一个采样周期都不可能相等，并且对uc(t)的每一个元素tv的值也不可能相同。在实际应用中，把v作为一个整定参数，它可以变化以便使式(4—5)的等式能近似表示成：
式中uc(tv)是一个特定的恰当调整参数v的分段常量输入函数。如果能求出式(4—8)中的v，那么xc(t)的值将同xd(t)的值较好地匹配。利用式(4—8)中的uc(tv)作为ud(kt)，我们就可算出在t＝tv＝kt＋vt时xd(t)的值为：
把式（4—9）代入式（4—10）得：
为了确定期望的数字增益，使r（tv）＝r（kt）。因此，从式（4—11）可以求出期望的数字控制规律为：
调整参数v的选择依赖于待定的采样周期t和数字再设计系统的状态xd(t)同初始连续系统的状态xc(t)的期望紧密度。下面是其性能指标：
式中tf是感兴趣的性能指标，用来作为选择调整参数v的设计指标。
5 三种方法的例子及比较
考虑式（2—1）所描述的连续系统，状态反馈控制规律如式（2—2），其参数如下：
式中系统的特征根是σ(a)＝｛0．2±j4．0，－1．0±j2．0，－8．0｝用文献［3］所提供的最优极点配置法，式（2—2）中的连续时间状态反馈增益kc为：
前馈增益ec被选成单位矩阵，即
目的是求数字增益kd和ed，当采样周期为0．5s时，求得离散状态匹配法和双线性变换法的kd和ed分别为：
