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复空间中两直线导体间互阻系数的计算

作者: 来源: 发布时间:2018/2/11 16:12:47  点击数:628
calculation of the mutual impedance of two conducting line
segments in complex space
tang zhanghong yuan jiansheng
(tsinghua university 100084 china)
abstractin the real space the impedance of two segments located arbitrary can be expressed by a formula and
calculated theoretically,which is able to avoid the errors caused by employing numerical integral methods.
however,the formula can be popularized to the complex space.the method to implement the theoretical calculation
of the mutual impedance in the complex space is presented in this paper,by which an efficient software for simulating
substation grounding grids is developed.
keywordsmutual impedance coefficient complex space grounding grid
1 引言
在变电站接地网数值模拟计算中,方程组系数矩阵中的各元素为两直线导体段间的互阻系数,即导体段l1上的单位泄露电流在l2上产生的平均电位值。其表达式为[1]
(1)
式中 ρ——导电媒质的电阻率,在接地网模拟计算中为土壤电阻率,ωm
l1、l2——两导体的长度,m
r——l1的长度微元dl1与l2的长度微元dl2之间的距离,m
上式的二重积分若用gauss数值积分法很容易实现,但其运算量大且难以避免数值近似解的误差,对于两导体间距较小的情况问题尤为突出,这严重影响了接地网数值计算软件的计算效率和精度。若能找出式(1)的解析解,以上问题可大为改善。
2 实空间中互阻系数的计算公式
文献[2]给出了实空间中两直线导体间互阻系数的计算公式。对图1所示的两直线导体ab和ef,它们之间的互阻系数m可用下式表示
(2)
式中(3)
与上列公式对应的各量参见图1,图中的a′和b′分别为a和b在ef延长线上的投影,e′和f′分别为e和f在ab延长线上的投影,θ为空间两直线ab和ef的夹角,efhi为一平行四边形,ei平行且等于ab,gc是ab和ef的公垂线,式(2)、(3)中带有下划线的线段取值有正负之分,当它与所在的线段ab或ef同方向时取正,反之取负,其余的线段恒取正;式中的ω(恒为正)为b点对平行四边形efhi所张的立体角。

图1 线段ab和ef间互阻系数的计算公式中各量示意图
式(2)为计算m的通式,但在两种特殊情况下要进行特殊处理。
(1)ab和ef共面但不平行 此时cg=0,ω→0,sinθ≠0,式(2)中cg.ω/sinθ=0。
(2)ab和ef平行但不共线 此时θ=0°或180°。当θ=0°时,式(2)中cg.ω/sinθ→
be+af-bf-ae;当θ=180°时,式(2)中cg.ω/sinθ→-(be+af-bf-ae)。
3 各投影点的求法
设图1中点a、b、e、f的坐标分别为
直线ab、ef的方向矢量分别记为(l1,m1,n1)、(l2,m2,n2),下面讨论其他各点坐标的
计算方法。首先,由直线ab和ef的方向矢量可计算出直线ab和ef的公垂线cg的方向矢量为
记为t3。过ab作平行于t3
的平面π1,过ef作平行于t3的平面π2(如图1所示),则π1与ef相交的点即为点g,π2与
ab相交的点即为点c。可计算出点c的坐标为
(4)
式中
且规定d1=0时,d2/d1=0(以下类似的情况需做相同处理)。点g的坐标具有类似的对偶形式。
又由图1可知,过a且以ef为法向量的平面与ef的延长线相交得点a′(类似可得点b′、e′、f′),由此可计算出点a′的坐标为
(5)
式中
点b′、e′、f′的坐标具有类似的对偶形式。
对比式(4)、(5)及其他点的坐标可以发现,它们的表达式具有类似的形式。以上坐标的统一
表达式可以表示为
(6)
式中
(x,y,z)为待求点的坐标,(x1,y1,z1)和(x2,y2,z2)为两个已知点的坐标,(l1,m1,n1)
和(l2,m2,n2)为两个已知的方向矢量。
4 复空间中互阻系数的求解
在复镜象法中[1,3],表示导体位置的坐标为复数。在复空间中,以上实空间中的结论需
要修正,以求解复空间中的互阻系数。对于式(2)中的各量及其计算过程中所遇到的变量在复空
间中需要做以下定义与修改,利用修改后的式(2)便可以求解复空间中的互阻系数。
(1)两点间的距离 设复空间中两点p和q,其坐标分别为
为复空间中p和q两点之间的距离,其中“*”
为取复数的共轭。
(2)两矢量之间的夹角 设两复矢量t1=(l1,m1,n1)和t2=(l2,m2,n2),则其夹角的正弦和余
切值分别为
(7)
(3)点在直线上的定义 设复空间中两点p和q,其坐标分别为对任意
点a(x,y,z),若满足

则称点a在直线pq上,否则点a不在直线pq上,其中re为取实部,im为取虚部。
(4)两矢量的叉乘定义为
(8)
(5)两矢量垂直的充要条件是
(6)根据复空间中点与直线位置关系的判别方法可将式(6)修改为
(9)
式中 i——虚数单位,i2=-1

(x,y,z)为待求点的坐标,为两个已知的点的坐标,
和和为两个已知的方向矢量。若d1=0,则d3/d1=0;若d2=0,
则d4/d2=0。
5 实例验证
为了证明以上复空间中互阻系数计算m的正确性,我们利用gauss数值积分作了验证,表1为几组验证结果。顺便指出,虽然两段导体的坐标为复数,但其互阻系数必为实数,因为恒定电流场中的电位必为实数。
表1 gauss数值积分法与解析法计算互阻系数比较
位置关系两线
段端点坐标
积分法/积分点数解析法
异面a[(1,-1),(1,3),(-1,4)]
b[(3,-1),(5,3),(-2,4)]
e[(1,6),(2,-7),(-3,5)]
f[(5,6),(8,-7),(-5,5)]
2.656503/92.656504
共面a[(0,1),(1,1),(0,1)]
b[(1,1),(2,1),(0,1)]
e[(0,1),(0,1),(0,1)]
f[(1,1),(0,1),(0,1)]
0.9402964/100.9402962
平行a[(0,1),(1,1),(0,1)]
b[(1,1),(2,1),(0,1)]
e[(1,1),(0,1),(0,1)]f[(2,1),(1,1),(0,1)]
1.321327/91.321328
平行靠近a[(0,9),(1,1),(0,1)]b[(1,9),(2,1),(0,1)]
e[(0,1),(1,1),(0,1)]f[(1,1),(2,1),(0,1)]
6.821515/1006.821507

利用以上解析公式求解复空间的互阻系数时,只有在复矢量的分量为实数或纯虚数时,公式
才给出正确结果,即本推广方法不是对两导体的所有位置情况都适用,但对于实际的复镜象法却
已足够了,因为复镜象导体的位置一定满足以上约束。
6 结论
本文在分析实空间中两导体间互阻系数解析计算方法的基础上,给出了复空间中互阻系数的解析计算,从而避免了复镜象法中采用数值积分带来的计算误差和较长的计算时间,这对解决用复镜象法求解变电站接地网计算量大的问题具有重要的实际意义。这一算法已经在实际的软件中得到应用,大大提高了软件的效率和计算精度[4]。
作者单位:唐章宏 袁建生(清华大学 100084)
参考文献[1]李中新,袁建生,张丽萍.变电站接地网模拟计算.中国电机工程学报,1999,19(5)
[2] heppe j.computation of potential at surface above an energized grid or
other electrode,allowing for nonuniform current distribution.ieee transactions
on power apparatus and system.1979:1978~1989
[3] 袁建生,李中新.求解多层媒质中点源电场问题的复镜象法.清华大学学报,1999(5)
[4] yuan jiansheng,zhang liping,et al.numerical simulation of substation
grounding grids with unequal-potential.conference on the computation of
electromagnetic fields.japan,1999

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