分类号：tm 712文献标识码：a
文章编号：0258-8013 (2000) 05-0037-05
a hybrid algorithm using moment and cumulant
for power system probabilistic eigenvalue analysis
wang ke-wen， zhong zhi-yong， tse c t， tsang k m
(department of electrical engineering the hong kong polytechnic university,hong kong,china)
abstract：based on the present probabilistic eigenvalue studies, this paper presents a hybrid algorithm using moments and cumulants of random variables. uncertainties considered are system multi-operating conditions derived from operating curves of nodal loads and generations. by means of the first and second order eigenvalue sensitivity representation with different approximation, moments and cumulants of eigenvalues are determined from the statistical nature of nodal voltages and nodal injections. probabilistic distributions and stability probabilities of critical eigenvalues are calculated from the gram-charlier series. in the proposed hybrid algorithm, random variables can have arbitrary distribution. dependencies among random variables, interaction between expectations and covariances, as well as the correction of covariance to expectation are all considered.
key words：dynamic stability; eigenvalue; probability; cumulant
1 引言
电力系统概率稳定性分析的主要目的是确定临界特征根的概率分布和整个电力系统动态稳定的概率。文［1］最早将概率方法引入到电力系统动态稳定分析之中。在正态分布的前提下，利用线性化系统模型，从某些系统参数的概率特性计算出特征根实部的均值、方差，而全系统的稳定概率则借助联合正态分布的概念求出。该文作者后来用高阶原点矩的方法把该算法扩展为可以包含任意分布的随机变量［2］。对此问题，文［3］采用了以下几种方法以提高计算精度：2阶灵敏度法、多项式曲线拟合法及神经元网络学习法。文［1～3］中所介绍的算法均在一11节点的两机系统算例上得以实现，所考虑的随机因素为发电机旋转角和机械阻尼的不确定性。为考虑节点功率波动对系统静态稳定的影响，文［4］采用累加量和gram级数的方法计算简单静态稳定判据dpi/dδi>;0的概率特性。文［5］所考虑的不确定性则为基于节点负荷运行曲线的系统多运行方式。在正态分布假定下，先由概率潮流计算确定系统的初始运行状态和节点电压的均值、协方差；然后利用线性化系统模型［6］得到临界特征根的分布概率。概率动态稳定性的概念也曾被用于分析动稳边界曲线的概率特性［7］及构成感应电动机的概率动态模型［8］。
本文依据特征根不同阶矩对其整体概率分布的影响程度，对特征根各阶矩的计算采用不同程度的近似处理。其中，均值计算最为准确，计及了方差对均值的影响；方差次之；第3阶采用计及变量相关性的中心矩；第4、5阶使用累加量，从而构成中心矩与累加量的混合使用，最后用gram-charlier级数确定特征根的概率密度和稳定概率。
2 多机系统模型
本文采用“一般性的多机系统表达”(gmr)技术［6］来构成系统的状态空间方程。该技术允许发电机及其相关的控制系统可以被描述到任意详尽的程度，且有利于特征根与节点电压之间的灵敏度关系表达。负荷模型则采用如下的指数形式：
pl＝pl0val， ql＝ql0vbl
(1)
将线性化后的坐标变换计入到发电机模型中，所有发电机可以与外部电力网络直接相联，如图1所示。对gmr的详细描述可参见文［6］。
图1 多机系统模型
fig.1 multimachine system representation
3 混合算式
概率动态稳定分析的主要困难仍然是计算精度和计算量需求之间的矛盾，并主要体现在：①对随机变量类型的限制(如正态假定)和变量之间相关性的考虑；②对特征根与原始随机扰动变量之间表达式的简化程度，即是否保留非线性项；③随机变量运算中高阶矩对低阶矩的影响等等。阶矩法［2］允许随机变量可任意分布，且充分考虑变量之间的相关性，但高阶中心矩的计算量相当可观。累加量法［4］具有算式简单、计算速度快的优点，却基于随机变量彼此独立的假设。在特征根灵敏度算式中保留非线性项可以提高计算精度，但使得计算量急剧上升。
另外，概率分布的数值计算表明：在gram-charlier级数中，越是高阶的累加量，对整个分布曲线的影响就越小。为减小计算量，文中将对不同阶次的特征根阶矩或累加量采用不同近似程度的计算：均值计算计入方差的影响；2、3阶中心矩计算计入变量相关性；高阶累加量计算基于随机变量彼此独立的假定。由此构成一同时使用中心矩和累加量的混合算式。
3.1 均值和方差
概率潮流计算提供了发电机的初始状态和节点电压的均值、协方差。特征根的前两阶阶矩可以从节点电压的均值和协方差计算得到。为此，将特征根λk解析地表达为节点电压的非线性函数，
λk＝gk(v)
(2)
在一n节点的电力系统中,节点电压矢量将包含有2n个实数分量,即v＝[v1,v2,…,v2n]t。将(2)式按泰勒级数展开后,含有2阶项的近似表达式为
(3)
式中 期望运算子为
或e(.)。
由于节点电压偏差的均值为0，即
＝0 (i＝1,2,…，2n)，vi、vj之间的协方差为
＝cvi，j，特征根的均值可简写为
(4)
式中
，可从系统状态方程的系数矩阵a求得；hk为2阶项
(5)
为计算特征根的协方差，将式(2)写成线性化形式，并记1阶特征根导数为jλk，i，则
(6)
λm与λn之间的协方差为
(7)
将式(4)和(6)代入式(7)得
(8)
3.2 3阶中心矩和高阶累加量 ［9］
特征根与节点注入之间的线性化关系可以写成如下的矩阵形式：
δλ＝jλ j－1vδs＝jδs
(9)
式中 s为节点注入功率矢量；j＝jλ j－1v；jv为节点功率对节点电压的灵敏度矩阵。
计及节点功率之间的相关性，λk的3阶中心矩m(3)λk可以从节点功率的3阶中心矩计算得到
(10)
式中 ji，j为矩阵j的元素。
略去节点功率之间的相关性，λk的4、5阶累加量可依据式(11)分别从节点功率的4阶及5阶累加量求出
(11)
3.3 特征根的分布概率
特征根实部的分布概率标志着相应模式的动态稳定程度。假设λk＝αk＋jβk，则αk的各阶累加量为λk的相应阶累加量的实部
k(r)αk＝re［k(r)λk］ (r＝2,3,4,5)
(12)
由于特征根的方差和3阶中心矩分别是其2阶及3阶累加量，特征根实部αk分布的概率密度可以依据gram-charlier级数［9］来计算。分布概率也可简写为
(13)
如果式(13)中的积分边界αc为0，则式(13)给出λk位于复平面左半平面的概率。本文中，临界特征根的分布概率将近似用来表达整个多机系统动态稳定的概率。
复特征根λk＝αk＋jβk的阻尼比ξk为［10］
(14)
依据式(14)的线性化形式，阻尼比ξk的各阶累加量可以从αk和βk的各阶累加量计算得到。然后，由gram-charlier级数计算ξk的概率密度，由式(15)确定分布概率。本文算例中，式(15)的可接受边界值取ξc＝0.1［10］。
(15)
4 算例
系统1: 在图2所示的9节点系统中，3台发电机均装有快速励磁调节器(excs)和原动机调节装置(govs)，且3号发电机配有电力系统稳定器(pss)。文［11］提供了所有这些控制装置的状态传输框图。本文中，将节点功率和pv电压的正常运行值作为其期望值(均值)，唯pg1改为113mw，以保证松弛节点上的发电机在所有运行方式下均有正的有功功率输出。各节点功率和pv电压的标准日运行曲线见文［5］。为了模拟系统的多运行方式，从这些运行曲线生成480个运行样本(使用月或年运行曲线将更为理想)，并进一步确定节点功率的各阶矩及累加量。依照式(4)(8)(10)及(11)计算特征根分布的数字特征、分布密度和稳定概率。本系统共有27个特征根，由5对复根和17个实根组成。由于所有实根都有足够的稳定概率，仅将复根和阻尼比的前5阶数字特征及分布概率分别列于表1和表2。其中第23和25个复特征根应为临界特征根。其分布概率可近似地表达整个系统的稳定程度。
图2 3机系统(系统1)
fig.2 3-machine system(system 1)
表1 系统1的复特征根
tab.1 complex eigenvalues of system 1
| no. | α | β | ζ | p{α<0} | p{ξ>;0.1} |
| 11,12 | －2.1803 | 0.0721 | 0.9995 | 1.0000 | 1.0000 |
| 15,16 | －1.1096 | 0.7881 | 0.8153 | 1.0000 | 1.0000 |
| 19,20 | －0.7532 | 0.7156 | 0.7250 | 1.0000 | 1.0000 |
| 22,23 | －0.4909 | 9.2558 | 0.0530 | 0.9920 | 0.0000 |
| 24,25 | －0.3466 | 6.8038 | 0.0509 | 0.9969 | 0.0034 |
表2 系统1的复特征根的前5阶累加量
tab.2 cumulants of complex eigenvalues of system 1
| no. | 均值 | 方差 | 3阶 | 4阶 | 5阶 |
| 实部 | (×1) | (×10－2) | (×10－3) | (×10－4) | (×10－5) |
| 11,12 | －2.1803 | 2.4328 | －0.0640 | －0.4317 | 1.0826 |
| 15,16 | －1.1096 | 0.3487 | 0.0056 | －0.0110 | －0.0176 |
| 19,20 | －0.7532 | 0.9526 | 0.0350 | －0.1760 | －0.2177 |
| 22,23 | －0.4909 | 3.9392 | 3.6379 | －12.4862 | －74.0647 |
| 24,25 | －0.3466 | 1.5757 | 0.1491 | －0.2040 | －0.3245 |
| 虚部 | (×1) | (×1) | (×1) | (×1) | (×1) |
| 11,12 | 0.0721 | 0.0384 | －0.0003 | －0.0003 | 0.0001 |
| 15,16 | 0.7881 | 0.0005 | 0.0000 | 0.0000 | 0.0000 |
| 19,20 | 0.7156 | 0.0012 | 0.0000 | 0.0000 | 0.0000 |
| 22,23 | 9.2558 | 2.9888 | 1.7011 | －6.2820 | －31.3675 |
| 24,25 | 6.8038 | 0.3007 | 0.0637 | －0.0309 | －0.0666 |
| 阻尼比 | (×1) | (×10－2) | (×10－3) | (×10－4) | (×10－5) |
| 11,12 | 0.9995 | 0.0011 | 0.0000 | 0.0000 | 0.0000 |
| 15,16 | 0.8153 | 0.2078 | 0.0001 | 0.0000 | 0.0000 |
| 19,20 | 0.7250 | 0.2381 | －0.0017 | 0.0078 | 0.0043 |
| 22,23 | 0.0530 | 0.0307 | －0.0042 | －0.0017 | 0.0010 |
| 24,25 | 0.0509 | 0.0325 | －0.0004 | －0.0001 | 0.0000 |
为验证该方法的有效性及考察计算误差，本文又用确定性方法对这480组负荷样本进行了480次特征根计算。由于第23和25个特征根的虚部明显区别于其它特征根，可以得到这两个临界特征根的480个样本，及其实际的概率分布。图3中，曲线c1为第23个特征根实部的实际分布，曲线c2为本文方法计算所得的第23个特征根实部。明显地，高阶累加量的使用使得曲线c2在正态分布的基础上向右端扩展，从而更接近实际分布，提高了稳定概率的计算精度。
图3 特征值λ23实部的概率分布
fig.3 distribution of the real part of 23rd eigenvalue
表3对计算结果进行了比较。为方便起见，仅列出两个临界特征根的前两阶阶矩。由表3来看，用本文方法得到的均值已很接近实际值，而方差与实际值之间尚有一定的误差。究其原因，式(4)完整地计及了协方差的影响，而式(8)则采用近似方式以减少计算量。
表3 不同近似程度下所得的临界特征根结果比较
tab.3 comparison of expectations and standard deviations for critical eigenvalues
| |  | σα23 |  | σα25 |
| 本文方法 | －0.4909 | 0.1985 | －0.3466 | 0.1255 |
| 实际值 | －0.4880 | 0.2080 | －0.3340 | 0.1747 |
算例2:图4所示的8机25节点系统是从电科院 “电力系统分析综合程序(psasp)”中的36节点系统去掉直流线路而得到。网络参数，节点功率和控制参数皆来自psasp。节点注入功率sl1到sl9，pg1到pg7，以及qg3，qg6被分别配以不同的日标准运行曲线。第24点为松弛母线，其电压按pv电压曲线变化［5］。式(1)中的电压相关负荷特性系数为a＝1.38，b＝3.22。
图4 8机系统(系统2)
fig.4 8-machine system(system 2)
表4 系统2的部分复特征根
tab.4 selected complex eigenvalues of system 2
| no. |  |  |  | p{α<0} | p{ξ>;0.1} |
| 45,46 | －0.4283 | 7.0792 | 0.0604 | 1.0000 | 0.0000 |
| 52,53 | －0.3694 | 14.5785 | 0.0253 | 1.0000 | 0.0000 |
| 58,59 | －0.2865 | 0.3531 | 0.6301 | 1.0000 | 0.8885 |
| 60,61 | －0.0353 | 5.8210 | 0.0061 | 0.5606 | 0.0066 |
| 62,63 | －0.1382 | 10.8349 | 0.0128 | 1.0000 | 0.0000 |
| 64,65 | －0.0954 | 7.8486 | 0.0122 | 0.8908 | 0.0000 |
| 73,74 | －0.1978 | 7.1538 | 0.0276 | 0.8199 | 0.0073 |
本系统共有74个特征根：34个实根和20对复根。其中3对复根不稳定，7对复根的阻尼比不满足要求。这7对复根列于表4，相关的前5阶累加量列于表5。计算过程及结果分析与系统1类似，不再赘述。
表5 系统2部分复特征根实部的前5阶累加量
tab.5 cumulants of real parts of selected complex
| no. | 均值
 | 方差
(×10－2) | k(3)α
(×10－3) | k(4)α
(×10－4) | k(5)α
(×10－5) |
| 45,46 | －0.4283 | 0.0815 | 0.0039 | －0.0011 | －0.0006 |
| 52,53 | －0.3694 | 0.3214 | 0.0700 | －0.0251 | －0.0079 |
| 58,59 | －0.2865 | 0.9075 | －0.2913 | －0.0252 | 0.0420 |
| 60,61 | －0.0353 | 4.9278 | 0.0710 | －1.9278 | －6.6744 |
| 62,63 | －0.1382 | 0.0287 | －0.0021 | 0.0107 | －0.0004 |
| 64,65 | －0.0954 | 0.4392 | 0.1524 | －0.2309 | －0.2446 |
| 73,74 | －0.1978 | 4.5689 | －0.5763 | －1.1106 | 2.3602 |
5 结论
本文成功地将随机变量的中心矩与累加量混合使用，既考虑了随机变量之间的相关性，又保证了高阶累加量对特征根概率密度函数的修正。模型中2阶项的保留也改善了特征根的计算精度。在负荷运行曲线的基础上，对两个算例进行了分析。结果表明：①4、5阶累加量对特征根密度函数的形状有明显的修正，且在线性模型下计算非常简单；②特征根灵敏度算式中非线性项的保留可以有效地提高计算精度， 但以计算量为代价；③随特征根数字特征阶数的增高而逐阶简化灵敏度算式，是一种可行且有效的途径。可以少量的精度损失换取大幅度的计算量减少。④所得结果与特征根的实际分布已十分接近。⑤该混合算法可用于对多原始随机扰动变量、多系统状态变量的多机电力系统进行分析。
基金项目：香港rgc资金项目(hkp87/95e)；香港理工大学研究生资金项目(b-q093)。
作者简介：王克文，36岁，男，，山西省人，博士，讲师，从事电力系统分析和稳定研究
钟志勇，28岁，男，香港人，博士，研究员，从事电力系统小干扰稳定及电力市场方面的研究；
谢志棠，49岁，男，香港人，博士，助理教授，从事电力系统分析和稳定研究；
曾启明，48岁，香港人，博士，助理教授，自动控制专业。
作者单位：王克文（香港理工大学电机系，中国香港）
钟志勇（香港理工大学电机系，中国香港）
谢志棠（香港理工大学电机系，中国香港）
曾启明（香港理工大学电机系，中国香港）
参考文献：
［1］ burchett r c,heydt g t.probabilistic methods for power system dynamic stability studies［j］.ieee trans on pas,1978 pas-97(3)：695～702.
［2］ burchett r c,heydt g t.a generalized method for stochastic analysis of the dynamic stability of electric power system［c］.ieee pes, sm paper 1978, a78528.
［3］ 曹一家，王春林，程时杰.电力系统静态概率稳定计算的几种新方法［j］.电力系统自动化，1997，21(6)：13～18.
［4］ 王锡凡，王秀丽.电力系统随机潮流分析［j］.西安交通大学学报，1988，(3)
［5］ wang k w,tse c t,tsang k m.algorithm for power system dynamic stability studies taking account the variation of load power［j］.electrical power system research journal,1998，46：221～227.
［6］ tse c t,tso s k.approach of the study of small-perturbation stability of multimachine systems［j］.iee proc,1988，135(5)：396～405.
［7］ brucoli m,torelli f,trovato m.probabilistic approach for power system dynamic stability studies［j］.iee proc,1981，128(5)：295～301.
［8］ stankovic a m,lesieutre b c.a probabilistic approach to aggregate induction machine modeling［j］.ieee trans on power systems,1996，11(4)：1983～1989.
［9］ kendall s m,stuart a.the advanced theory of statistics［m］. volume 1.new york, hafner,1977.
［10］ 罗国俊，徐显华，龙绍清，等.广东-香港联网系统的低频振荡［j］.中国电机工程学报，1986，6(1)：29-35.
［11］ hiyama takashi.rule-based stabilizer for multi-machine power system［j］.ieee trans on power systems,1990，5(2)：403～409.
