1 引言
配电网中补偿电容器的优化配置问题涉及如何最优地确定电容器的安装位置、容量及类型等方面。合理的电容器配置，能够有效改善电网的电压水平，降低系统的有功网损，并同时避免谐波谐振或电流放大。一直以来，电容器的优化配置是工程界和学术界所共同关注的研究课题。目前不少文献在研究该问题时，仅考虑了系统潮流约束和节点电压上下限约束，而忽略了电网中存在的谐波的影响[1~3]。然而，随着电力电子装置的应用日益广泛，由此引起的谐波污染日趋严重，不合理的电容器配置可能导致某次或某几次频率下的谐波谐振或电流放大，从而危及电容器本身以及其它电气设备的安全运行。为了避免发生谐波谐振或放大，优化计算时有必要考虑谐波对电容器配置方案的影响。判断电网有无发生谐波放大和衡量电网畸变严重程度的主要指标是电压总谐波畸变率（total harmonic distortion，thd），各个国家对不同电压等级下的谐波畸变率都作了明确的限值规定，因此本文在建立电容器优化配置问题的规划模型时，考虑了电网中所有节点的电压畸变率约束条件，从而可使规划方案下的各节点电压总谐波畸变率控制在规定限值之内。
电容器的配置优化问题是一个非线性整数优化问题，其目标函数和约束条件都是离散控制量的非线性函数，因而难以用传统规划方法进行问题的精确求解。近年来，以遗传算法（genetic algorithms，ga）为代表的演化计算技术的发展为解决这类优化问题提供了新的途径。本文利用一种新的演化计算方法¾¾微粒群优化算法（particle swarm optimization，pso）来解决上述问题。pso算法是kennedy博士于1995年提出的一种基于群智能的演化计算方法[4,5]，其思想最初来源于对鸟群觅食过程的模拟，从这一简单社会系统的行为模型中得到启示，由此建立算法的开发基础，并最终发展成为一种有效的优化工具。与ga类似，pso也是一种基于迭代的随机搜索算法，但两者存在以下不同： ①pso一般采取实数编码，而不需要像ga那样进行变量的二进制编码（或者采用针对实数的遗传操作）； ②pso算法迭代过程中不需要诸如交叉、变异等的遗传操作，而是根据微粒的速度来决定搜索路径； ③pso直接取目标函数本身作为适应度函数，根据目标函数值（也就是适应值）进行迭代搜索，而ga在求解极小值问题时需完成从目标函数到适应度函数的变换； ④pso需要调节的参数不多，尤其是算法在引入收敛因子[6]后，完全可按经验值设置参数即可获得较好的收敛性。而用ga对优化问题进行寻优时，如何选取合适的选择率、交叉率、变异率和保留率等诸多控制参数，需要根据实际情况作多次测试和比较，算法的收敛效果在很大程度上取决于这些参数的选取； ⑤ 两者的信息共享机制不同。在遗传算法中，各染色体间互相共享信息，因此整个种群比较均匀地向最优区域移动。而在pso中，只有群体中的当前最优微粒向其它的微粒提供信息，属于单向的信息流动，整个搜索更新过程是跟随当前最优解的过程，与ga相比，在大多数情况下，所有微粒更快地收敛于最优解。基于以上这些优势，微粒群算法不仅可以用于一切遗传算法可以应用的领域，而且在多数情况下比遗传算法更快地收敛至全局最优解。目前pso算法已开始应用于电力系统优化问题中，文[6]利用微粒群优化算法求解无功优化，通过几种不同规模的测试系统证明了该算法的正确性和有效性。
本文建立了考虑谐波影响的电容器优化配置问题的非线性整数规划模型，并应用微粒群优化算法进行求解，针对问题中的离散控制量对算法作了离散化处理，解决了pso算法用于整数优化或混合整数优化的问题。对ieee 9节点系统和ieee 69节点系统分别进行了计算，结果表明算法是正确和有效的，可以获得电容器优化配置问题的全局最优解。
2 微粒群算法
2.1 标准pso算法
如前所述，微粒群算法是在模拟鸟群捕食行为的基础上发展起来的。优化问题的每一个可能解都是搜索空间中的一只“鸟”，算法中称之为“微粒”，根据对环境的适应度将群体中的个体（微粒）移动到好的区域。这些微粒在搜索空间中根据自身的和同伴的飞行经验以一定的速度飞行，追随着当前的最优微粒，最终达到从全空间搜索最优解的目的。
假若在d维搜索空间中有m个微粒，微粒i（i=1,2,…,m）的位置为xi=(xi1,xi2,…，xid)，它所经历过的最优位置记为pi=(pil, pi2,…, pid),，相应的适应值称为个体最优解pbesti。微粒群经历过的最优位置记作pg=(pg1,pg2,…,pgd)，相应的适应值称为全局最优解gbest。微粒i的飞行速度用vi=(vil, vi2,…, vid)表示。则微粒根据如下计算公式来更新自己的速度和位置
式中w为惯性权重；c1和c2为加速常数；r(0, c1)和r(0, c2)为两个相互独立的随机函数，分别产生[0, c2]和[0, c2]范围的随机数。
由式(1)可知，微粒的当前飞行速度由三部分组成：第一部分为微粒的先前速度，反映了微粒具有记忆的特点；第二部分为“认知”部分，反映微粒对自身的思考；第三部分为“社会”部分，反映微粒间的信息共享与相互合作，微粒自身的认知将被其它微粒所模仿。pso算法的心理学假设可描述为：在寻求一致的认知过程中，个体往往记住它们的信念，同时考虑同伴们的信念。当个体察觉同伴的信念较好时，它将进行适应性地调整。
2.2 参数分析
2.2.1群体规模
群体规模一般取20-40就可以取得好的结果，对于大规模问题可选取相对大的值。
2.2.2惯性权重
惯性权重w控制着微粒的先前速度对当前速度的影响程度。若w较大，则微粒有能力扩展搜索空间，探索以前所未能达到的区域，整个算法的全局搜索能力较强；若w较小，微粒主要是在当前解的附近搜索，局部搜索能力较强；当w=0时，微粒速度没有记忆性，根据式(1)，各微粒将飞向个体最优位置和全局最优位置的加权中心，而恰好处于全局最优位置的微粒则将保持静止，这时算法完全是一个局部算法。由此可见，惯性权重w使算法具有全局搜索的能力，改变其取值可以调整算法全局和局部搜索能力的平衡。
2.2.3加速常数
加速常数c1和c2分别代表微粒飞向个体最优解和全局最优解的加速权重。考虑三种情况：①c1= c2=0。微粒将一直以先前的速度飞行，直至问题空间的边界，因此只能搜索有限的区域，很难找到问题最优解；②c1=0,c2¹0。微粒没有“认知”能力，在这种情况下，由于微粒间的相互作用，算法有能力到达新的搜索空间，且收敛速度更快，但是对复杂问题，更容易陷入局部最优；③c2=0,c1¹0。微粒之间没有社会信息共享。这时由于个体之间没有交互作用，一个规模为m的群体等价于m个微粒的单独运行，因而得到解的几率非常小。
2.2.4最大速度
最大速度决定在当前位置与最优位置之间区域的分辨率。同惯性权重w一样，它也起着平衡全局和局部搜索能力的作用。一般将速度限值vmax,d设置为每维变量的变化范围。
2.3 引入收敛因子后的改进pso算法
为保证算法的收敛性，文[7]对标准pso进行了改进，在算法中引入了收敛因子k，使微粒的速度和位置按下式更新：
可以看出，式(2)相当于式(1)的一种特殊参数组合，其中收敛因子k是受φ1、φ2限制的惯性权重，加速常数c1=kφ1，c2=kφ2。通常可取φ=4.1，
对不同类型的函数测试表明，引入收敛因子后的改进pso算法在收敛速度方面明显优于标准pso算法[8]。
上述pso算法的迭代公式可以直接用于求解连续变量优化问题。对于离散变量优化或混合整数优化问题，仅需对每一代的微粒速度和位置作离散化处理（如归整处理）即可。
3 补偿电容器配置优化问题的数学模型
以系统有功网损费用和电容器运行费用最小为目标函数，考虑谐波影响的补偿电容器配置优化问题的非线性整数规划模型可描述为
式中kp为有功网损的年等值费用系数；ploss为系统总的有功损耗（基波有功损耗和谐波有功损耗之和）；b为配电网的节点数目；
为节点i处投入的电容器容量；
为单组电容器容量；l为电容器最大投入组数；
为电容器单位造价系数；
分别为节点i的电压有效值及其下限值和上限值；rthdi、rthdmax分别为节点i的电压总谐波畸变率及其最大允许值。
节点i的电压有效值和电压总谐波畸变率分别为
4pso算法求解电容器配置优化问题
4.1 谐波潮流计算
考虑谐波影响的配电网电容器配置优化计算中，在基波潮流计算结束后，需要进行谐波潮流计算，以获取各次谐波的有功损耗
与基波潮流计算不同，谐波潮流计算通过一次求解即可获得结果，不需要迭代求解，这是因为各谐波源节点注入的是谐波电流而不是节点功率。如果各节点的非线性负荷占总负荷的比重已知，则注入谐波电流按下式计算[9]：
式中ci为节点i的非线性负荷pih与总负荷pi之比：
分别为节点i的有功负荷和无功负荷；
为节点i的基波电压。
谐波潮流计算时，首先形成谐波网络的节点导纳矩阵，再由谐波注入电流求解谐波网络方程，以获取各节点的谐波电压：
式中vn为n次谐波电压向量；in为各谐波源注入系统的n次谐波电流向量；yn为n次谐波导纳矩阵。
由基波及各次谐波的潮流计算，获得系统总网损为
对于如图1所示的辐射状配电系统，有功网损为
4.2 求解步骤
应用微粒群算法求解补偿电容器优化配置问题的计算步骤如下：
（1）初始化。输入系统参数及不等式约束上下限值；设置微粒群体规模m=40；微粒的维数设为系统的总节点数；随机生成群体中所有微粒的位置(即优化问题的控制量)及微粒速度；设置微粒的初始个体最优解pbest为足够大的值；置迭代次数t=0，最大迭代次数t=50。
（2）检查是否满足电容容量约束。若当前微粒位置上某些维的变量不满足式(4)中的容量上下限约束条件，则这些变量被限制为约束的上限值或下限值。
（3）计算微粒的适应值。由系统的基波潮流计算和谐波潮流计算，获得微粒的基波网损和谐波网损，按式(4)中的目标函数式计算出系统的总运行费用f(qc)，并判断各节点的电压约束和谐波畸变率约束是否违限，如果违限，在运行费用中加上相应的惩罚函数项，得到各微粒的适应值。
（4）比较每个微粒的适应值和当前个体最优解pbest，若对于某个微粒而言，其适应值小于pbest，则将适应值作为该微粒当前的个体最优解pbest。
（5）选择所有微粒的个体最优解pbest中的最小值作为微粒群当前的全局最优解gbest。
（6）由式(2)计算各微粒的飞行速度，归整后更新微粒的当前位置。
（7）判断是否到达最大迭代次数t，若为否，置迭代次数t= t +1，然后转到步骤（2）。
（8）输出优化问题最优解。
5 算例分析
利用微粒群算法分别对ieee 9节点系统和ieee 69节点系统进行了补偿电容器配置优化计算。计算过程中，算法的收敛因子k取0.729，加速常数为j1=j2=2.05；节点电压的上限值和下限值取1.0和0.9，节点电压谐波畸变率上限值取3%，网损年等值费用系数kp取168元/kw，电容器容量qc及其单位造价系数kc如表1所示。
（1）ieee 9节点系统
ieee 9节点系统数据见文[10]。表2分别列出了优化前(假设系统没有装设补偿电容器)以及采用pso算法、ga算法[11]、文[12]提出的启发式方法进行优化后的结果。图2所示为优化前与pso优化后系统各节点电压的谐波畸变率曲线。
由表2可见，与优化前结果比较，采用pso算法获得的电容配置方案不仅改善了电压分布，系统各节点电压有效控制在上下限范围内，而且使网损降低了6.9%，节约年总运行费用7671元。从节省系统年运行费用的角度看，用pso算法获得的优化方案优于文[11]的ga算法和文[12]的启发式方法求得的结果方案。
从图2所示曲线可以看出，优化后的电容配置方案使系统所有节点的电压畸变率控制在规定值以内，有效地抑制了谐波谐振或电流放大。
（2）ieee 69节点系统
ieee 69节点系统如图3所示。该系统包含1条主干馈线和7条支馈线。系统参数及负荷数据见文[13]。假设节点6、15、20、26、39、41、54、56、58、62、69处为非线性负荷，它们向系统注入3次、5次、7次、11次和13次谐波。采用本文方法进行该系统的补偿电容器配置，迭代30次后的优化结果列于表3。
由表3结果可知，采用pso对69节点系统的补偿电容器进行优化配置后，将降低系统网损34.2kw，降幅为15.2%，节省年运行费用4802元，同时所有节点电压约束及谐波畸变率约束均得到满足。
6 结论
（1）配电系统不合理的补偿电容器配置，可能导致无功补偿电容与电力系统中的电感构成局部谐振回路，发生谐波谐振或电流放大，因此，在规划配电网电容器的安装位置和装设容量时，有必要考虑谐波对配置方案的影响。
（2）本文讨论了考虑谐波影响的补偿电容器优化配置问题，并应用微粒群优化算法进行优化求解，通过对ieee 9节点和ieee 69节点两个算例系统的计算分析，验证了算法的正确性和有效性。
（3）微粒群算法作为一种新的演化计算方法，可以有效地解决包括连续变量优化、整数规划、混合整数规划、组合优化在内的大多数优化问题。较之目前应用最为广泛的遗传算法，微粒群算法的最大优点是收敛速度较快，一般在执行20~50代后，算法就已经搜索到最优解的附近。不过，尽管实际应用已经证明了算法的有效性，到目前为止，微粒群优化算法仍缺乏严格的数学证明，因此，算法还有待于进一步深入研究。
参考文献
[1]huang y c, yang h t, huang c l. solving the capacitor placement problem in a radial distribution system using tabu search approach [j]. ieee trans on power systems, 1996, 11(4)：1868-1873.
[2]kalyuzhny a, levitin g, elmakis d, et al. system approach to shunt capacitor allocation in radial distribution systems [j]. electric power systems research, 2000, 56(1)：51-60.
[3]sundhararajan s, pahwa a. optimal selection of capacitors for radial distribution systems using a genetic algorithm [j]. ieee trans on power systems, 1994, 9(3)：1499-1506.
[4]kennedy j, eberhart r. particle swarm optimization[c]. proceedings of ieee international conference on neural networks, perth, australia, 1995.
[5]eberhart r, kennedy j. a new optimizer using particle swarm theory[c]. proceedings of sixth international symposium on micro machine and human science, nagoya, japan, 1995.
[6]yoshida h, kawata k, fukuyama y. a particle swarm optimization for reactive power and voltage control considering voltage security assessment [j]. ieee trans on power systems, 2000, 15(4)：1232-1239.
[7]clerc m. the swarm and the queen: towards a deterministic and adaptive particle swarm optimization[c]. proc. 1999 icec, washington dc, 1999.
[8]eberhart r, shi y. comparing inertia weights and constriction factors in particle swarm optimization[c]. proceedings of the 2000 congress on evolutionary computation, la jolla, ca, usa, 2000.
[9]baghzouz y. effects of nonlinear loads on optimal capacitor placement in radial feeders [j]. ieee trans on power delivery, 1991, 6(1)：245-251.
[10]grainger j j, lee s h. capacity release by shunt capacitor placement on distribution feeders: a new voltage-dependent model [j]. ieee trans on power apparatus and systems, 1982, 101(5)：1236-1244.
[11]chung t s, leung h c. a genetic algorithm approach in optimal capacitor selection with harmonic distortion considerations[j]. electric international journal of electrical power &energy systems, 1999, 21(8)：561-569.
[12]baghzouz y, ertem s. shunt capacitor sizing for radial distribution feeders with distorted substation voltages [j]. ieee trans on power delivery, 1990, 5(2)：650-657.
[13]mesut e b, felix f w. optimal capacitor placement on radial distribution systems [j]. ieee trans on power delivery, 1989, 4(1)：725-734.
