1 引言
电力系统静稳、动稳遭到破坏或非同期重合闸都将会使系统发生不同程度的振荡。振荡事故严重时可能导致系统瓦解，或使系统解列为几个部分。同时，电力系统振荡和频率偏移会对继电保护的准确动作带来很大的负面影响，如故障分量和序分量的计算、阻抗继电器的动作特性等等[1,2]。
目前所提出的各种快速测频算法几乎都是建立在单频率信号基础上的[3~6]，这些方法对于存在两个频率信号的振荡情况，要么精度不够高，要么完全不适用。而电力系统在振荡情况下测得的电力系统瞬时频率有如下作用：① 可准确地得到运算子，从而消除负序不平衡电流；② 用来准确地提取故障分量，防止故障分量方向元件在振荡时误启动；③ 距离保护中的阻抗值随系统瞬时频率变化而变化,实时测量出系统瞬时频率，能更精确地得到距离阻抗值。
为提高电力系统振荡时快速保护的性能，找到振荡时快速频率自适应算法是当前超高压线路保护迫切需要解决的问题。
2 频率测量基本算法
2.1 电力系统瞬时频率的概念
电力系统发生振荡且振荡中心所在线路上的振荡电流有2个电流信号叠加组成时，振荡电流可表示为
i(t)=i1sin(2πf1t+ø1)+i2sin(2πf2t+ø2)
式中i1，i2分别为两侧电源在线路上产生电流分量的幅值；f1，f2分别为两电流分量的频率；ø1，ø2分别为两电流的初相角。
若i1=i2，则振荡电流又可表示为
式中│f1-f2│为振荡电流包络线的频率，即通常所说的振荡频率；
为系统的瞬时频率，很明显，该处定义的电力系统瞬时频率为频率的广义定义。
2.2 基本原理
电力系统发生振荡且振荡中心所在线路中采集到的电流信号为两正弦信号的叠加时，假设每一次计算过程中两电流分量幅值都保持不变，由于两侧系统的频率不会迅速改变，系统中电流信号采样值可表示为
式中im、in为两侧电源在线路上产生电流的幅值。
设电流信号采样的时间间隔为ts时，本算法中采用异步采样，每工频周期采样8点，则采样周期t=1/400s，并设采样到第k-2点时，m、n侧电源在线路上产生的电流相角分别为a1和β1。则第
同样，设第k＋p-2点时，m、n侧对应的相角分别为a2和β2（p为1～3中的自然数），则
2.3 频率的计算方法
在式(14)中，mi、ni（i=1,2,3）都是实时测量到的值。设该等式右边根式部分的值为y，采用文献[7]中的迭代法，经过2～3次简单迭代可以较精确地求出y的值（迭代中的初始值y0取为0.7071）,从而得到式(14)等式右边整个的值,设其值为x,则电力系统瞬时频率为f＝(w1+w2)/4π= arccos(x)/(4pt)。将arccos(x)在x0＝0（对应频率初始值f0=50hz）处泰勒展开,从而得到f=f0+
式(14)等式右边每个分式都是关于2πw1、2πw2的余弦函数之和或乘积，现以
将m次计算的cos(w1t).cos(w2t)按上式进行绝对值和补偿[8],得到
其中│m2.n1-m1.n2│k表示第k次得到的│m2.n1-m1.n2│的值；m为分子和分母绝对值相加的项数
用该方法可对式(14)中每个分式的分子、分母绝对值加和，不仅可以消除分母过零点的影响，还能起到抑制噪声的作用。
3分析和仿真结果
影响该测频算法精度的因素有：第k-2和第k+p-2点的间隔值p；绝对值加和取的项数m；泰勒展开截断项数n；采样频率；开平方时所用的迭代法的迭代次数；两侧系统频率偏移额定值的程度等等。
经过仿真，间隔p取2为比较理想的值，其算法精度较取其它值高，而且所用的数据窗短，计算速度快；泰勒展开截断项数取前3项已有足够的精度；文中采用每工频周期8点采样能得到很好的测量效果。
由于在系统振荡时，只要两侧电源信号频率中任一侧偏离工频，都会因为泰勒展开和迭代而带来误差。本文方法中，线性拟合后的结果x对系统瞬时频率测量误差的影响反映的是余弦函数在p/2处的斜率，根据文献[9]可知，该方法对频率测量误差影响较小。迭代和泰勒展开所引起的测量误差如表1所示，表中所指的误差是指用该算法求得的瞬时频率值和(f1+f2)/2之间的数值差。p和m的取值不影响该误差的大小，两侧电源幅值和初相角选取的不同也不影响表1的结果。
为消除或降低采样值中随机噪声和a/d变换引起的误差，可将采样数据经过数字滤波。根据滤波算法的幅频特性可知，不同频率的信号经过滤波后其幅值的增益一般是不相等的，故滤波一般是针对单一频率信号而适用的，因为本文算法中采样到两电流信号的幅值不同对测量结果几乎没有影响，因此完全可以采用滤波方法而不会影响算法的可行性，本文中对a/d变换带来的误差仿真中均采用了全周傅氏滤波。
本文利用电流采样值来计算频率，为提高模数转换的分辨率，用vfc型a/d变换，变换过程中会存在量化误差，现以14位采样位数来检测量化误差对测量精度的影响，设额定电流为5a，转换器满量程为75a。在实际电力系统模型中，采用两端电源信号的频率差上限为10hz。
设输入波形为
(110πt)，将采样到的结果经过数字滤波，完全用本文中的方法仿真可得图1，其中用到的p取为2, m取为8,算法的时间窗为32.5 ms，理论上测量到的瞬时频率应该为50 hz，由图1可测量到的瞬时频率误差在0.05 hz以内。
4数据再处理
4.1 数据再处理的必要性
在式(14)右侧分式的分母非常小时，该算法将会给计算结果带来较大的误差。由式(16)知,有2种情况会使分母接近于0：① 两正弦信号的某些特殊的初相角使得a1b2-a2b1接近于0，振荡时2个频率信号的相角是在不断变化的a1b2-a2b1本身也在作类似于正弦函数的变化，故这种情况只发生在极短一段时间内；②cos(w1t)-cos(w2t)接近于0，系统只发生轻微振荡，这时，将在很长一段时间内使得式(14)的分母为0，此时可以考虑采用单频率信号的测频算法。另外，当电流包络线过零时，会使连续很多采样点数据很小，这样有效位数远小于14位，采样数据的相对误差增大，计算结果会有很大的偏离。上面这些情况都要通过加门槛值来判别。
4.2 门槛值的确定
上述原因会产生较大的测量误差，用分子分母绝对值加和的方法能降低测量误差，但不能彻底根除误差，为此，需要加门槛以限定上述几种情况的发生。本文中门槛值的确定如下：
设额定电流为5 a，且式(14)中各分式的分子分母绝对值加和次数为8次，经过多次的实验仿真，
其中,ε取3～10之间的某一实数。ε取得越小，被门槛限定而不能测量的区间越小，算法精度越低；相反，ε取得越大，则被门槛限定而不能测量的区间越大，但算法精度越高。
现以采样电流瞬时值为i(t)=
sin(106πt+7π/15)+
sin(94πt+8π/15)来说明门槛值的作用。图2是没加门槛时测得的瞬时系统频率，图3是加门槛值ε=8的仿真效果。
5 分析与结论
本文提出了一种基于数学解析结合迭代和泰勒展开的方法来求得振荡时电力系统瞬时频率的快速算法。该方法在数学推导过程中和两电流信号的幅值是否相等无关，测量结果也基本不受两侧电源幅值不相等的影响。文中用绝对值补偿的方法来消除算法中分母过零点的影响和减小噪声的干扰；该方法测频范围大，适应性强，振荡越剧烈精度越高，完全能在40 ms内测出振荡时系统瞬时频率，实时性较高。仿真结果表明，选用合理的门槛值，累计误差可不超过0.8%，并且能同时得到振荡时系统瞬时频率和振荡频率。
参考文献
[1]葛耀中(ge yaozhong).新型继电保护与故障测距原理与技术(new types of protective relaying and fault location their theory and techniques)[m].西安：西安交通大学出版社(xi’an：xi’an jiaotong university press),1996.
