人工神经网络由于其极强的非线性映射能力在工程中获得了广泛的应用。bp网络的致命弱点是容易陷入局部极小，由于bp算法的固有特性，局部极小的问题不可能从根本上避免，并且bp网络隐层节点数目的确定依赖于经验和试凑，很难得到最优网络。径向基函数(radial basis function，rbf)理论为多层前馈网络的学习提供了一种新颖而有效的手段。rbf网络不仅有良好的推广能力，而且避免了bp算法中繁琐、冗长的计算，其学习速度可以比通常的bp算法提高上千倍, 其隐层节点的数目也在训练过程中确定，因此可以得到最优解。
在机械故障诊断应用中, 神经网络实质上是提供了从故障特征到故障模式的复杂非线性映射关系，因此，如何有效地提取故障的特征就成为一个关键的问题。在工程中测取的信号常常受到随机噪声的干扰, 使得信号的信噪比很低, 当机器发生早期故障时, 其微弱的故障信息完全淹没在噪声中, 这给信号特征的提取带来了很大困难。另一方面, 许多机器正常运转时, 其振动信号接近于高斯分布, 而当机器状态异常时, 其振动信号往往偏离高斯分布。近年来发展起来的高阶统计量的理论和方法, 为非高斯信号的处理提供了强有力的手段［1］，已经成为现代信号处理的核心内容之一。
齿轮的轮齿裂纹故障特征的提取一直是一个困难的问题，许多学者都对此问题进行过研究,但真正行之有效的方法并不多。本文用高阶统计量作预处理来提取齿轮故障特征，将提取的特征作为rbf神经网络的输入，成功地将齿轮正常信号、裂纹信号和断齿信号进行了分类, 效果十分显著。
1 rbf神经网络理论
rbf神经网络是近年来得到很大发展的一种前馈网络的拓扑结构，见图1。从本质上说它是一种两层网络,输入层节点只是传递输入信号到隐层，隐层节点(即rbf节点)由径向基函数构成，输出层节点通常是简单的线性函数。隐层中的基函数对输入激励产生一个局部化的响应，即当输入落入很小的区域时，隐元才有非零响应，因此，rbf网络也称为局部接受域网络。
在rbf神经网络中，隐层最常用的激励函数是高斯函数
(1)
式中，rj为隐层第j个单元的输出；x为输入模式；cj为隐层第j个单元高斯函数的中心；σ2j为第j个隐节点的归一化参数；nr为隐层节点数。
rbf网络的训练过程分两个阶段。第一阶段，根据所有输入样本决定各隐层节点的数目和高斯函数中心位置cj及归一化参数σ2j。最常用的确定高斯函数参数的方法是k-means聚类算法。假设用k-means聚类算法已将输入样本聚类，θj为第j组的所有样本，则各个聚类中心为
(2)
各归一化参数为
(3)
式中，mj为θj中的模式数；σ2j为与每个聚类中心相联系的数据散布的一种测度。
在第二阶段，根据已确定好的隐层参数和输入样本、输出样本，利用最小二乘原则，求得连接权值wi。
在理论上，rbf网络和bp网络一样能以任意精度逼近任何非线性函数。但由于它们使用的激励函数不同，其逼近性能也不相同。poggio和girosi［4］已经证明，rbf网络是连续函数的最佳逼近，而bp网络不是。bp网络使用的sigmoid函数具有全局特性，它在输入值的很大范围内每个节点都对输出值产生影响，并且激励函数在输入值的很大范围内相互重叠，因而相互影响，因此，bp网络的训练是一个很慢的过程，并且很容易陷入局部极小。采用局部激励函数的rbf网络在很大程度上克服了上述缺点，对于每个输入值，只有很少几个节点具有非零激励值，因此只需很少部分节点及权值改变，网络训练速度快，容易适应新数据，并且其收敛性也较bp网络易于保证［5］。
2 故障特征提取方法
在齿轮故障诊断中，测取的信号信噪比通常都很低，尤其当早期故障发生时，故障信息很微弱，往往被淹没在噪声中，给诊断带来很大困难。怎样抑制随机噪声的干扰, 提高信噪比, 是一个关键的问题。传统的fft得到的是一种反映平均效应的全局谱，对于齿轮局部故障，尤其在故障发生的早期阶段，故障特征不明显，并且有大量噪声的干扰，使得常规谱分析难以获得好的效果。数字滤波是常用的消除噪声的方法，但前提条件是噪声的频带已知，并且与要提取的分量频带不重合。在实际测取的信号中，不仅混有高斯白化噪声，而且也有未知频谱结构的高斯有色噪声，对这类噪声，传统的方法是无能为力的。近年来发展起来的高阶统计量的理论和方法, 为这类噪声的剔除提供了有力的工具。高阶统计量可以抑制加性高斯噪声，包括未知频谱结构的高斯有色噪声，并且能有效提取由于偏离高斯分布引起的各种信息。
设x(n)为离散时间实值平稳随机过程，其二阶距、三阶距、四阶矩分别定义为［6］
m2x(i)=e［x(n)x(n+i)］ (4)
m3x(i,j)=e［x(n)x(n+i)x(n+j)］ (5)
m4x(i,j,k)=e［x(n)x(n+i)x(n+j)x(n+k)］ (6)
若x(n)为零均值平稳随机过程，则其二阶累计量、三阶累计量、四阶累计量分别定义为
c2x(i)=m2x(i) (7)
c3x(i,j)=m3x(i,j) (8)
c4x(i,j,k)=m4x(i,j,k)-m2x(i)m2x(j-k)-m2x(j)m2x(k-i)-m2x(k)m2x(i-j) (9)
由式(4)～式(9)可知, 零均值随机过程的二阶累计量、三阶累积量分别与它的二阶距、三阶矩相等,但更高阶的累积量与相应阶次的矩是不相等的。
零均值高斯随机过程x(n)的累积量有以下结论：c1x=0,c2x=σ2,ckx≡0(k≥3)，即零均值高斯过程三阶以上(k≥3)的累积量恒等于零。以上假定高斯过程具有零均值并不失一般性,因为在实际应用中,非零均值随机时间序列可以通过减去其均值估计化为零均值序列。
高阶累积量有一个重要的性质，即两个统计独立随机过程之和的累积量等于这两个过程累积量之和。再由以上零均值高斯过程三阶以上累积量恒等于零的结论可知，当信号中含有加性高斯有色噪声时, 在理论上高阶累积量可以完全抑制噪声的影响, 从而提高信噪比。 本文用高阶统计量作为抑制噪声、提取齿轮故障信息的方法。经过大量试验研究发现，齿轮振动信号的四阶矩和四阶累积量可以有效地提取齿轮故障特征。
3 齿轮故障分类
我们在一台汽车齿轮箱上进行了大量试验，用加速度传感器从轴承座部位获取齿轮箱振动的加速度信号，分别测取齿轮正常及有裂纹和断齿时的信号各20组，利用高阶统计量对每组信号进行预处理，具体方法如下：对每组信号，分别计算其零滞后的四阶矩和四阶累积量的估计值，对得到的估计值进行归一化，使所有的值都在（0，1）区间内。然后取15组归一化后的统计量值作为rbf网络的输入样本，对网络进行训练。用另外5组数值作为测试样本。训练样本及其理想输出见表1，测试样本及其实际输出见表2,rbf网络和bp网络性能对照见表3。由表2可以看出故障分类的准确率是很高的。又由表3知，rbf网络的训练速度大大高于采用改进算法的bp网络，同样的训练样本，用常规bp算法迭代8000步，耗时370 s尚不能收敛于给定的误差0.01。
表1 训练样本及其理想输出
| 训练样本 | 理想输出 |
| 齿轮正常 | 100 |
| 故障1(裂纹) | 010 |
| 故障2(断齿) | 001 |
表2 测试样本及其实际输出
| 测试样本 | 节点1输出 | 节点2输出 | 节点3输出 |
| 正常 | 1.0007 | -0.0007 | 0 |
| 0.9995 | 0.0005 | 0 |
| 1.0043 | -0.0042 | 0 |
| 0.9982 | 0.0018 | 0 |
| 0.9959 | 0.0041 | 0 |
故障1
（裂纹） | 0.0001 | 0.9983 | 0.0015 |
| 0.0004 | 0.9971 | 0.0025 |
| 0.0009 | 0.9974 | 0.0016 |
| 0.0007 | 1.0010 | -0.0017 |
| 0.0001 | 1.0020 | -0.0020 |
故障2
（断齿） | 0 | -0.0003 | 1.0003 |
| 0 | -0.0005 | 1.0005 |
| -0.0003 | 0.0141 | 0.9862 |
| -0.0003 | 0.0124 | 0.9879 |
| -0.0002 | 0.0083 | 0.9919 |
表3 rbf网络和bp网络性能比较
| 训练方法 | 网络类型 | 训练时间（s） | 训练步数 |
| k-means聚类算法 | rbf网络 | 1.10 | 6 |
| 改进bp算法 | bp网络 | 110.12 | 1916 |
4 结束语
本文用高阶统计量作为预处理方法, 以rbf神经网络作分类器, 成功地将齿轮正常、裂纹和断齿的信号进行了分类，效果十分显著。由于零滞后的高阶统计量计算简单便捷，rbf网络训练速度快，逼近精度高，这种方法可用于齿轮箱在线状态监测, 识别齿轮箱运行状态的优劣。研究结果表明, 高阶统计量和rbf网络相结合，在机械故障诊断中是大有可为的。
