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图2 梯级泵站水位示意图
各站的扬程为：
Hj=Hj2-Hj1 (4)
式中 Hj、Hj1、Hj2——第j级泵站的扬程、进水位和出水位
各站消耗的功率为：
 (5)
式中 Nj——第j级泵站消耗的功率
Qi——单台机组流量
ηi——单台机组的效率
如果站内n台机组型号相同，且管路装置亦相同的机组投入运行，各机组的装置效率相等。那么，按照等流量分配原则，式(5)可以写成：
 (6)
式中 n为i级泵站装机台数，由站内优化运行方式确定。相对于一定的台数，K为常数。故Nj与Hj/ηi成比例，而ηi是Hj的函数。Hj改变时，ηi作相应改变。当然Nj也可直接由优化后的Nj=Qj求得。梯级泵站优化运行的数学模型是：
 (7)
式中 m——梯级提水系统的级数
n——泵站投入运行的机组台数
Nji——j级泵站单台机组消耗功率
Qj′——j级泵站至j+1级泵站间的分流量，包括两站之间的输水流量损失
梯级泵站的优化运行问题涉及到众多的因素，约束条件较多，除了与单站优化运行的相同约束以外还有若干约束，应根据具体情况逐一考虑。下面列出一般情况的约束条件。
(1)流量约束 要求前一级站流量大于或等于后一级站流量即：
Qj＞Qj+1 (8)
(2)水位约束 各级泵站的扬程由各自的进出水位决定。除第一级站的进水位和最后一级站的出水位在一次计算中看作不变值，其余各进出水位均随泵站区间的调蓄状况(充满程度)而定，但在工程设计时，对进水位均有相关的限制要求，分别有最高运行水位和最优运行水位。故所选择的进出水位应在最高运行水位和最低运行水位之间。即：
H1jmax≥H1j≥H1jmin (9)
H2jmax≥H2j≥H2jmin (10)
(3)机组台数约束 各站投入运行的机组台数不得大于要投入运行的机组总台数nmax(一般不包括备用机组)，即：
n≤nmax (11)
(4)机组功率约束 实际需要功率不得大于机组允许的最大功率Nimax，即：
Ni＞Nimax
要解式(7)这样的优化运行问题，可采用动态规划法分阶段进行选优，逐步推求。
首先将问题序列化，把每一级泵站作为决策序列的一个阶段。现以三级提水系统来说明确定其优化运行方式的解算方法。
序列系统将梯级系统的三级泵站按逆序排列，如图3所示。
图3 梯级泵站序列化系统图
与前面的序列不同，这一序列的状态变量为扬程。第3阶段的输入状态变量为整个梯级的提水扬程H，其输出状态变量为总提水扬程减去三级站扬程H3，即H-H3，此亦为第二阶段的输入状态变量。类似的有第二阶段的输出状态变量为H-H3-H2=H1，H1又为第一阶段的输入状态变量。
各阶段的决策变量分别为d3、d2、d1，表示各级泵站扬程的选择。扬程实际上是由进出水位组合确定的。需要根据水位实际变幅合理确定扬程间隔大小。
相应于一个扬程(决策)，就有一个泵机组消耗功率，这个消耗功率应该是该级泵站在这个选定扬程和确定流量情况下，按优化准则计算得出最优运行组合的机组总消耗功率：
 (12)
为使整个系统取最优值，即在确定的提水流量情况下，总耗能最小，可按下列递推方程进行逆向解算：
NJ(HJ)=min｛Nj(Hj)+N*J-1(HJ-Hj)｝ (13)
式中 NJ(HJ)——相应于决策阶段j的站组组合最小总功率
N*J-1(HJ-Hj)——相应于j-1决策阶段的站组合最小总功率
Nj(Hj)——第j阶段决策所对应的阶段本身(该级站)消耗的功率
上式约束条件与前述相同。
以站为阶段，通过优化各级站的运行扬程来确定梯级泵站优化运行方式，可节省很多的计算工作量，并能获得满意的最优解。
3 工况不可调机组梯级泵站的优化运行
从理论上说，工况可调机组梯级泵站可以通过精细的机组工况调节使整个梯级提水系统保持式(2)或式(3)的严格的流量平衡，总体实际运行工况亦可达到这一平衡，在确定优化运行方式时能够满足流量平衡条件，而对工况不可调机组组成的梯级泵站情况就不同了。由于泵机组工况是不可调节的，各站流量的增减变化都是突变，流量是离散变量而非连续变量，故要达到各级的流量平衡就变得十分困难，必须采用机组工况调节以外的手段，如水量调蓄，分流放水控制等。
现在考虑有调蓄容积的二级提水情况，设调蓄容积为Va。调蓄容积的最低水位和最高水位应分别由第二级站最低运行进水位和最高进水位确定。
对这一梯级泵站运行的优化，就是要求寻一种适宜的调蓄容积，亦即最佳的调蓄水位(一级站出水位及二级站进水位)，使两级泵站的总能耗最小。它的特点也是水位(扬程)的优化，水位是联系梯级泵站的可供选择的唯一水力要素，而流量是联系同级泵站群的可选择水力要素。因此，梯级泵站的运行优化主要是水位(扬程)的优化。这个梯级问题可归为如下的数学模型。
目标函数为：
式中 Eh——梯级系统总耗能
k——一级站投入运行的机组台数
Qi——一级站单泵机组流量
H1——一级站实际扬程
ηsi——相应于一级站单泵机组的装置效率
Td——一级站日运行时间
Qa——一级站用于调节流量的调节机组流量
ηsa——调节机组的装置效率
t0——调节机组的连续开机时间
Tm——调节机组的开机次数
T1——一级站运行天数
Qj——二级站单泵机组流量
ηsj——二级站单泵机组装置效率
n——二级站投入运行的机组台数
H2——二级站实际扬程
T2——二级站运行的总时间
约束条件有：
(1)流量约束 当一级站调节机组运行时，一级站流量大于或等于二级站流量，即：
 (15)
当调节机组停机后，一级站流量小于或等于二级站流量。
(2)开机台数约束 投入运行的机组台数小于或等于泵站总的机组台数，即：
 (16)
(3)开机频度约束 为保证不影响动力机使用寿命，开停机的次数不应过多。调节机组的运行时间应大于最短运行时间t0以减小启动损耗所占比例，即：
t0≥［t0］ (17)
调节机组的停机时间要大于最短停机间隔时间［ti］，即：
ti≥［ti］ (18)
为减小开机频度，应有足够的调蓄容积，并选择流量较小的机组作为调节机组来运行。
开机时间t0可按下式计算：
 (19)
式中 Δt——计算时段
ΔVa——Δt时段内调蓄水量增量
 ——Δt时段内一级站流量(含调节机组流量)的平均值
 ——Δt时段内二级站流量的平均值
停机时间ti由下式求得：
 (20)
式中 ——Δt时段内一级站平均流量(不含调节机组流量)
当调蓄容积较小，而单泵机组流量又比较大的时候，很难进行流量调节，这时就要采用区间分流的办法来调节流量，因而要浪费部分水量和能量。另一办法是在调节机组的出水管路上设闸阀，通过控制闸阀开度来进行节流调节，这都是不经济的。
因此，从经济运行的目的出发，对工况不可调机组泵站，至少应采用1台小流量机组作为调节机组，或者安装1台工况可调机组，以解决流量不平衡问题。
对于三级以上的梯级泵站系统，可依照式(14)列出类似的目标函数求解。
作者简介：张文渊，男，33岁，大学，工学学士，工程师。通讯地址：224354江苏省射阳县六垛江苏省国营淮海农场。
张文渊(江苏省国营淮海农场) | 
