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作者： 来源： 发布时间：2018/2/11 16:12:47  点击数：390

近年来, 内插子波得到了广泛的研究和应用［1～5］. 它包括两个重要的子类: 内插样条子波和donoho型子波. 由于前一类是非紧支撑的, 后一类成为了目前内插子波研究的热点. donoho 子波［1］是紧支撑的内插子波, 内插尺度函数采用deslauriers-dubuc 基本函数［2,3］. 但它存在明显的不足之处, 如, 子波函数不具有消失矩, 因而无法提供l2(r)的riesz基; 对偶仅仅是一个分布函数, 相应的低通分析滤波器是全通的,缺乏频率局部化特性. 以提升方法(lifting scheme) 为工具, sweldens构造了改进的donoho 子波［4,5］,从而, 有效地弥补了这些缺陷. 在文献［6,7］中, 我们推广改进的donoho子波到更一般的形式——广义内插子波类. 整个系统完全由一对广义插值滤波器确定, 因此, 设计上更具灵活性. 内插尺度和子波函数满足双尺度关系:
(0.1)
其对偶满足
(0.2)
h,g是一对实的fir 广义插值滤波器. donoho子波和改进的donoho子波可以看作它的特例, h是对称deslauriers-dubuc滤波器, g=0时, (0.1)式表示donoho子波；h和g是一对对称deslauriers-dubuc滤波器时，(0.1)式表示改进的donoho子波.
性质1［6］在(0.1)和(0.2)式定义的广义内插小波系统中，φ，，ψ和具有n+1 阶消失矩当且仅当广义插值滤波器h,g 满足
(0.3)
一个尺度函数具有n+1阶消失矩是指：，也称作尺度函数具有coiflet性质［8］.
广义插值滤波器的参数化对于广义内插子波系统的设计具有重要意义, 特别是对于区间内插子波. 当用定义在实直线r上的子波变换有限长信号时, 信号必须首先被延拓, 常用的延拓方式有周期延拓、零延拓和镜像周期延拓. 延拓常常引起明显的边界效应, 表现为分解系数在边界处呈现突跳或震荡; 对于零延拓和镜像周期延拓, 分解系数可能被加长(相对于周期延拓). 这些严重影响后续子波系数域处理的性能(如量化、去噪、压缩等). 因此, 近年来区间子波或边界滤波器的设计受到了广泛的关注［9,10］. 广义插值滤波器的多样性为边界滤波器(或区间内插子波)的设计提供了很大的自由度.
本文首先回顾了deslauriers-dubuc滤波器与多项式插值的关系, 研究了广义插值滤波器与多项式拟合的关系，给出了广义插值滤波器的参数表示. 在正交区间子波中, 边界滤波器的2-范数是归一的，消失矩数或对光滑信号的逼近能力成为首先考虑的设计指标. 然而, 对于区间内插子波，边界滤波器不满足2-范数归一化条件,同时大量的实际信号包含噪声或本身不光滑，在这种情况下, 消失矩数和对噪声的稳健性对边界滤波器的设计同等重要. 因此, 我们提出了稳健边界滤波器的设计准则和算法, 设计了具有稳健边界滤波器的区间内插子波. 以数据压缩为背景, 对其性能进行了比较. 结果表明: 具有稳健边界滤波器的区间内插子波能够更为有效地抑制边界效应.
1 广义插值滤波器的参数化
假定一个连续函数f(x)在模板{x0,x1,…,xn},xi≠xj,i≠j上的值为{f(x0),f(x1),…,f(xn)}, 通过n次多项式插值估计函数在x(x≠xi,i=0,1,…,n)的值, 估计值(x)可表示为
(x)=［1,x,x2,…,xn］a-1［f(x0),f(x1),…,f(xn)］t， (1.1)
其中a(p,s)=xsp;p,s=0,1,2,…,n.
估计值(x)等于模板上函数值{f(x0),f(x1),…,f(xn)}的线性组合，由lagrange插值公式得到组合系数
(1.2)
h(x,k)对坐标轴的平移和伸缩是不变的并且估计精度是n+1阶的, 即对任意次数不超过n的多项式, 估计是精确的.
二分点插值是一种广泛采用的形式. 已知函数在二进有理点{j2-n,j∈z}的值, 通过固定模板在{j2-n,j∈z}的滑动依次估计二分点{j2-n+2-(n+1),j∈z}处的函数值; 这时, 组合系数不依赖于n和j, 仅依赖于模板及模板与估计点相对位置, 可以看作一个滤波器. 这样得到的插值滤波器就是著名的deslauriers-dubuc滤波器. 以1/2为插值点,对应于n+1阶插值模板stencil(n+1,m)={m,m+1,…,m+n}的deslauriers-dubuc插值滤波器为
(1.3)
h(2n,-n+1)d表示对称的2n阶deslauriers-dubuc滤波器, 在子分方法［2,3］和donoho型子波中起核心作用. 而h(2n,1)d和h(2n,-2n+1)d分别表示2n阶deslauriers-dubuc左外推和右外推滤波器.
在deslauriers-dubuc滤波器中, 模板点的数目正好等于插值多项式的次数加1, 因而是具有最小模板的插值滤波器. 数据拟合是插值的推广, 可以充分利用数据的信息, 更具灵活性. 下面, 简要回顾全局加权最小二乘多项式拟合的机理.
设{xi,f(xi)}ni=1是一个连续信号的采样值, 用n(n(1.4)
a与(1.1)式的定义相同,f=［f(x0),f(x1),…,f(xn)］ , w是一个秩不小于n+1的非负定加权矩阵. 容易得到函数在x(x≠xi)处的估计值为
(x)=(1,x,x2,…,xn)(atwa)-1atwft. (1.5)
不失一般性, 基于拟合模板的加权最小二乘的多项式局部拟合可描述如下: 已知函数在二进有理点{j2-k,j∈z}的值, 为了估计函数二分点{j2-k+2-(k+1),j∈z}的值.利用一个给定模板在数据集上滑动, 模板点和估计点的相对位置不变, 依次得到二分点的估计值. 与逐点多项式插值类似, 二分点的估计值等于模板点函数值的线性组合, 组合系数可以看作一个平移不变滤波器. 以stencil(n+1,m)={m,m+1,…,m+n}为拟合模板，以1/2为插值点,w为加权矩阵，相应的滤波器为
(1.6)
其中，a=(aij)(n+1)×(n+1), aij=(m+i-1)j-1.
这样的滤波器具有下面两个重要性质:
性质2 当拟合模板点数目等于n+1时, 该滤波器就是deslauriers-dubuc滤波器.
性质3 (1.6)式的滤波器h满足
(1.7)
因此, (1.6)式的滤波器是deslauriers-dubuc滤波器的一般形式,我们称之为广义插值滤波器. 更重要的是它设计上的灵活性和简单的参数表示.
定理1 对拟合模板stencil(n+1,m)={m,m+1,…,m+n-1,m+n}和加权矩阵w(rank(w)≥n+1), 存在唯一系数β(p),p=m,m+1,…,m+n-n，使得
(1.8)
证 由性质3, 对任意的加权矩阵，滤波器h是欠定方程组
t
的解. 而滤波器h(n+1,p)d,p=m,m+1,…,m+n-n, 正好构成上述方程的一个基础解系. 又因为每个滤波器满足系数和等于1,. 定理得到证明.
另外，高阶deslauriers-dubuc滤波器也可表示为低阶deslauriers-dubuc滤波器的加权和, 如,. 定理1的参数表示可以用于内插子波设计的多个方面, 如内插子波的参数化、优化设计和多通道快速分解算法等. 本文主要应用这一结果去设计区间内插小波.
2 稳健边界滤波器的设计方法
进行有限长离散信号或区间上的连续信号的子波分解时，为了抑制边界效应, 常常采用区间子波或边界滤波器. 抑制边界效应, 边界滤波器的设计是关键. 广义插值滤波器的多样性为区间内插子波或边界滤波器的设计提供了众多的选择余地. 那么, 怎样选择边界滤波器或边界插值模式呢? 这正是我们本节所要解决的问题. 对于正交区间子波, 目前已有许多重要的结果［9,10］. 这种情况下, 边界滤波器是2-范数归一化的, 消失矩和频率选择性是需要考虑的首要因素. 对于区间内插子波, 已经有一些进展［1,5］. 下面我们考虑区间内插子波中边界滤波器的优化选择问题. 对于含有噪声的光滑信号（在实际中，我们经常碰见的情况），在边界滤波器的选择中两个关键的因素是：插值滤波器的阶数（等价于边界滤波器的消失矩数）和对噪声的稳健性.
事实上，对于不含噪声的光滑信号，插值滤波器的阶数越高，由该滤波器产生的估计越精确，从而子波分解的细节系数幅度越小，这对大多数应用是需要的. 然而,大多数情况下, 信号被噪声污染或本身非光滑, 这时, 边界滤波器的稳健性与它的消失矩数同等重要.对于白噪声输入,输出的标准差等于输入标准差和滤波器的l2-范数的乘积, 因此, 滤波器的l2-范数反映了滤波器对噪声的稳健性. 滤波器l2-范数越大, 噪声被放大得越多. 因此, 区间插值子波设计中, 边界滤波器稳健性与消失矩数之间的折衷是非常必要的. 以deslauriers-dubuc滤波器为例, 它们的l2-范数如表1所示.
表1 deslauriers-dubuc滤波器h(n,p)d的l2-范数

n	‖h(n,-n+1)d‖2	‖h(n,-n+2)d‖2	‖h(n,-n+3)d‖2	‖h(n,-n+4)d‖2
1	1	1	*	*
2	1.581 1	0.707 1	1.581 1	*
3	2.284 5	0.847 8	0.847 8	2.284 5
4	3.375 0	1.038 3	0.800 4	1.038 3
5	5.253 2	1.272 6	0.860 6	0.860 6

表1中, 第2列表示deslauriers-dubuc右外推滤波器；*表示多步外推滤波器；n为偶数时, 存在对称插值滤波器. 显然, 外推滤波器的l2-范数随n的增大急剧增加，对称滤波器的l2-范数随n变化很小. 在传统的区间内插小波中, 内部的插值滤波器采用对称deslauriers-dubuc滤波器, 而边界插值滤波器采用外推或非对称deslauriers-dubuc滤波器. 这时, 边界插值滤波器高的阶数是以稳健性的急剧下降为代价的, 因此, 一种更灵活的方法是放弃部分消失矩换取自由度设计稳健的边界滤波器.
边界插值滤波器的参数表示：内部插值滤波器采用2n阶对称deslauriers-dubuc滤波器时, 我们要求边界插值滤波器的长度等于内部插值滤波器并具有一定的精度(例如m (m<2n)阶). 以左边界为例, 左边界用于低通分支的插值滤波器有n个, 记为h(k)l,k=0,1,…,n-1; 用于高通分支的插值滤波器有n-1个, 记为g(k)l,l=1,…,n-1. 以n=2为例, 左边界插值模式如图1和2所示.

图1 左边界高通滤波模式

图2 左边界低通滤波模式
图1，2中, ●表示偶数下标逼近系数, ○表示奇数下标的逼近系数, ⊙表示细节系数. 右边界处理与左边界相类似，只是右边界处理与逼近系数cj的长度的奇偶性有关. 根据(1.8)式的参数表示，左边界插值滤波器可以表示为
(2.1)
按照提升方法和第2带子波的基本理论［5,6］, 我们获得了一个具有完全重构性质的时变插值滤波器组.
边界滤波器的频域形式：边界插值滤波器给定时, 相应的边界滤波器也就唯一确定. 对于边界滤波器, 时变滤波器［11］的广义传递函数是描述它频域特性的有力工具. 用(k)l(ω)(k=0,1,…,n-1) 和(k)l(ω) (k=1,2,…,n-1)分别表示左边界分析低通滤波器和高通滤波器的广义传递函数;(ω)和(ω)表示内部分析滤波器的频率响应，则
(2.2)
(2.3)
在(2.3)式的第2式中，当m>;n-1时,(m)l=(ω).
定理2 (2.3)式给出的分析滤波器的广义传递函数具有下面重要性质:
(2.4)
并且它们的导数满足(p=1,2,…，2m-1)
(2.5)
证明见附录a. 这表明, 边界滤波器通带的平坦性和阻带的衰减快慢基本由阶数m确定. m既保证了边界插值滤波器对光滑信号的一定的预测精度，也限制了边界滤波器通带和阻带的形状. 因此, 最小化边界插值滤波器的2-范数 (等价于最小化边界滤波器的2-范数)可以实现稳健边界滤波的设计, 从传递函数的形状来看, 最小化抑制了边界滤波器过渡带的起伏.
边界滤波器的优化设计：为了实现上面的设计方案，按照高通分解模式(图1)和(2.3)式的第1式, 只要使‖g(k)l‖2最小化就可实现高通分支左边界滤波器的2-范数的最小化. 等价于选择最优参数γ(k)l使得‖g(k)l‖22最小, 可以转化为如下二次规划问题：
(2.6)
其中
设计好高通边界滤波器后，进一步设计低通边界滤波器，由低通分解模式(图2)和(2.3)式的第2式，优化问题可以转化为如下二次规划：
(2.7)
其中

右边界滤波器的设计可以按照相同的方法进行. 显然, 设计方案在算法上是可行的.
3 设计实例及性能对比
以n=2，内部插值滤波器取h(4,-1)d=［-1,9,9,-1］/16为例, 我们考虑边界插值滤波器阶数分别为m=2,3的最优边界插值滤波器. 左边界最优插值滤波器系数及相应的左边界滤波器的2-范数如表2所示.
表2 左边界插值滤波器及左边界滤波器的2-范数

阶数	左边界插值滤波器系数	l2-范数
m=2	g(1)l=［11,7,3,-1］/20	0.851 5
	h(0)l=［2 477/2 053,-1 477/21 225,117/5 971,-224/1 431］	1.314 9
	h(1)l=［1 045/2 392,1 847/2 693,-361/1 980,86/1 443］	1.220 3
m=3	g(1)l=［39,33,17,-9］/80	0.856 0
	h(0)l=［24 011/1 235,-509/998,-998/2 707,240/973］	1.541 2
	h(1)l=［2 137/5 598,1 488/2 039,-525/5 011,-79/11 715］	1.214 8

边界插值滤波器由阶数唯一确定，当m=4时，相应的边界插值滤波器只能采用4阶deslauriers-dubuc外推和非对称滤波器. 这时, 相应的左边界高通滤波器2-范数为1.019 3, 左边界低通滤波器的2-范数分别为2.777 6, 1.123 3. 因此, 边界插值滤波器的阶数和2-范数之间的折衷是必要的, 从后面的实验结果也可以明显地看到这点. 另外, 数据长度为偶数时, 右边界滤波器包含两个高通和一个低通滤波器, 数据长度为奇数时, 右边界滤波器包含两个低通和一个高通滤波器. 以偶数为例, 最优的右边界滤波器如表3所示. 从广义传递函数的形状来看, 优化设计显著压低了过渡带的起伏, 如图3(a)和(b)所示.
表3 右边界插值滤波器及右边界滤波器的2-范数

阶数	右边界插值滤波器系数	l2-范数
m=2	g(0)l=［-7,1,9,17］/20	1.012 4
	g(1)l=［-1,3,7,11］/20	0.967 0
	h(1)l=［389/2 041,-485/1 883,861/1 942,1 579/2 532］	1.060 1
m=3	g(0)l=［27,-51,-19,123］/80	1.403 7
	g(1)l=［-9,17,33,39］/80	0.856 0
	h(1)l=［-457/4 438,286/1 555,131/297,1 378/2 883］	0.909 8

图3 左边界低通滤波器幅频曲线(a)和左边界高通滤波器幅频曲线(b)
数据、图象压缩是子波和子波包应用最成功的领域之一. 而边界效应是压缩性能下降的主要因素之一, 区间子波的目的在于抑制边界效应. 子波和子波包用于数据压缩时, 率失真函数主要取决于前n个能量最大的分量重构信号的均方误差, 其中m表示数据长度. 在低比特率和采用嵌入变换编码［13］假设下, mallat给出了平均比特数、率失真函和d0之间的近似定量关系［14］:

因此, d0能够客观地衡量系统的压缩性能. 为了便于比较各种边界处理模式的性能, 以matlab5.0中的标准数据压缩测试信号“leleccum”信号作为输入信号, 比较m=2, m=3 的具有稳健边界滤波器的4-阶内插子波包, m=4的4阶区间内插子波包, 和周期延拓的4阶内插子波包的压缩性能. 由于内部采用相同的插值滤波器, 边界处理的优劣完全反映在压缩性能上; 子波包增加了边界分解系数的个数, 使得性能的差别易于观察. 实验中，我们采用了4层的完全二叉树子波包分解, 实验结果如图4和5所示.

图4 测试信号1(a) 和压缩性能曲线(b)

图5 测试信号2(a)和压缩性能曲线(b)
结果表明：本文设计的稳健边界滤波器(m=2,3)具有良好的性能, 而周期延拓和传统的区间内插子波(m=4)的性能较差. 事实上, 周期延拓大多数情况下导致边界处的不连续, 从而导致边界处分解系数的震荡, 引起压缩性能的下降. 传统的区间内插子波的边界滤波器具有最大的消失矩, 从而对于无噪声的光滑信号性能良好, 但边界滤波器对噪声非常敏感. 从而, 对含有噪声或本身非光滑的信号, 性能急剧下降. 在上面的实验中, 我们采用了长度为4的插值滤波器, 随着插值滤波器长度的增加, 边界滤波器的个数增加, 这时, 边界滤波器的优化设计更为重要. 综上所述, 本文提出的设计方法能够有效地抑制边界效应.
4 结论
本文首先研究了广义插值滤波器的参数表示, 在此基础上, 讨论了区间内插子波边界滤波器的优化设计问题. 提出了稳健边界滤波器的区间内插子波的设计准则和设计算法. 实验结果表明, 这样的区间内插子波能够有效地抑制边界效应, 具有良好的数据压缩性能. ■
*国家自然科学基金重点资助项目(批准号：69831040)
作者单位：水鹏朗（西安电子科技大学雷达信号处理重点实验室，西安 710071）
保铮（西安电子科技大学雷达信号处理重点实验室，西安 710071）
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附录a
定理2的证 由(1.7)式插值滤波器满足的性质, 显然(k)l(0)=0,(k)l(π)=-2. 把它代入(2.3)式的第2式得

由（2.1）和（2.3）式可以得到

从容易得到
(a1)
因此，对p=0,1,…,m-1，
(a2)
因此,ejω(k)l(ω) 的共轭满足
因此，对于p=1,…,2m-2,

由函数ω=π关于对称可以得到在该点的2m-1阶导数为零.
(a3)
由(a1)～(a3)式, 结论得到证明.

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