分类号：tm715文献标识码：a
文章编号：0258-8013 (2000) 05-0054-05
optimal feeder automation planning using binary programming
wang tian-hua，
（beijing creative distribution automation co.ltd,beijing 100085,china）
wang ping-yang， fan ming-tian
（electric power research institute china,beijing 100085，china）
abstract：in this paper, an analytic reliability algorithm, in which the reliability indices such as ens and pns are expressed as polynomials of 0-1 switch variables, is proposed firstly. then, the feeder automation planning is formulated as an optimal switch placement problem. a new binary programming is employed to solve this problem. two examples are used to demonstrate the feeder automation planning process.
key words：feeder automation planning; energy not supplied (ens); power not supplied (pns); binary programming
1 引言
馈线自动化是提高配电网供电可靠性的关键，故障定位、隔离和恢复是其主要功能［1～3］。传统的城市配电网为了保证供电可靠性，往往采用双回甚至三回线路供电。由于增加了变电站的出线数，通常需要建开关站来扩展出线数。这种变电站－开关站－用户的供电方式不仅设备利用率低、线路投资大，而且增加了变电站的出线困难［4］。馈线自动化技术只需要沿馈线装设柱上开关、分段器、重合器等设备，就可以通过故障定位、隔离和恢复供电功能来保证供电可靠性，降低了配电网的维护和检修费用。
实现馈线自动化首先要将旧城网辐射供电方式逐步改造成环网供电方式，这一点已达成共识。但线路如何分段、环网开关如何定位，是馈线自动化规划阶段应该解决的问题［2,3］。开关定位是馈线自动化规划中最重要的决策变量，一旦开关位置确定，就可以初步确定配电自动化的通信方式和控制策略，以及其他设备的配置。
通常，配电系统的可靠性越高，投资就越大。但高可靠性可以减少用户的停电损失和运行费用。馈线自动化规划的目标就是要确定一种最优的开关配置方案，使得在满足重要用户可靠性的前提下，可靠性总费用最小。
本文首先提出了一种基于解析法的配电网可靠性计算方法。解析法将可靠性指标停电电量损失(ens)和停电功率损失(pns)表示成0-1开关变量的多项式，能够考虑故障的隔离和恢复对可靠性的影响。然后将馈线自动化规划模型表示成开关的最优配置问题，并采用多项式0-1规划方法进行求解。
2 基于解析法的配电网可靠性算法
可靠性是配电网规划和设计的一个重要目标，其指标主要包括：①系统平均停电频率saifi；②系统平均停电持续时间saidi；③停电电量损失ens；④停电功率损失pns等。其中，saifi仅反映了网络结构本身的可靠性，saidi反映了电力公司的维护和管理现状。ens和pns综合考虑了故障的频率、持续时间和故障的严重程度，本文重点考虑这两个指标。假定单位kwh和kw的停电给用户造成的损失分别为ckwh和ckw，用户停电损失费用可以采用下式来衡量：
r＝ens×ckwh＋pns×ckw
(1)
配电网可靠性计算是以馈线为单位的。1条馈线包括1条主线路和若干分支线路。根据所带负荷的大小、用户的多少和线路的长度，分支线路又可分为3类。第1类分支很短，负荷也较小，一般不装设保护设备。第2类分支较短，仅装设熔断器。第3类分支线路长，负荷大，可在分支处装设开关设备。在配电网可靠性计算中，第1、2类分支可以看作是主线路的一部分。这样，复杂的多分支树型馈线可以分解成若干如图1所示的典型馈线。
图1 无第3类支路的典型馈线
fig.1 a typical main feeder section
2.1 无第3类支路的情况
假定图1所示的典型馈线有n段，pi表示与第i段直接相联的负荷之和，如p(1－2)＝p3＋p4。li、λi、di、xi(i＝1，…，n)分别表示第i段的长度、故障率、故障修复时间和开关变量，xi表示装设开关配置情况，xi＝0为装设开关，xi＝1为不装设开关，ds表示负荷转移时间。y表示是否装设联络开关，y＝0为装设联络开关，y＝1为不装设联络开关。
支路i故障时，由于隔离负荷导致的ens指标为
(2)
当y＝0时，支路i下游负荷可恢复供电，停电时间为ds；当y＝1时，不可恢复供电，停电时间为di。这两种情况导致的ens为
(3)
(4)
式(2)～(4)相加即可得i段故障导致的ens。di＝ds＝1时，相加得到的是i段故障导致的pns。对所有n条支路的ens求和，稍加整理，可得如下ens计算公式
常数项
(5)
y项
(6)
x项
(7)
xy项
(8)
式(7)(8)是两个多项式。式(7)包括n－1个一次项xi＋1，n－2个二次项xi＋1xi＋2，n－j个j次项xi＋1xi＋2…xi＋j，直到n－1次项xi＋1xi＋2…xi＋n－1。xy项同理。
进一步推导，式(7)的n－j个j次项可表示为
(9)
式(8)中，n－j个j＋1次项(变量y占1次)可写为
(10)
这样，由式(5)(6)(9)(10)，可将典型馈线的可靠性指标ens表示成开关变量的多项式表达式。令式(5)(6)(9)(10)中的di＝ds＝1，可得pns的多项式表达式。代入y和x1、x2、…、xn的值，加上装设熔断器的负荷支路的ens和pns，就可求出ens和pns指标。
2.2 有多个第3类分支的情况
如图2，主馈线上支路hm(5-6)连接两条第3类分支。假定第m条分支的总负荷为pm，m＝1,…,t，t为馈线上的总分支数。首先找出该分支的第一个常闭开关，计算分支点至该开关的故障率λm1和下游负荷之和pm1。然后，将支路hm的phm和λhm分别修改为phm＋pm－pm1和λhm＋λm1。这样，支路hm就包括了分支点至第一个常闭开关间的支路。
图2 有多个第3类分支的馈线
fig.2 a feeder with sections of type-3
由于分支内部故障不会影响其他线路的ens指标，故第2.1节典型馈线的可靠性计算方法同样适用于第3类分支。但对多分支馈线，主馈线上的支路故障会对下游分支造成影响。主馈线支路hm及其上游支路故障时，若分支m装设有联络开关，负荷pm1可以转移至其他馈线，停电时间为dms，否则停电时间为di。这两种情况导致的ens为
常数项
(11)
y项
(12)
x项
(13)
xy项
(14)
式(13)包括x的一次项λhm＋1dms pm1xhm＋1。式(14)包括xy的二次项λhm＋1(dhm＋1－dms)pm1xhm＋1ym。类推它们的j次项分别为
λhm＋j ds pm1xhm＋1…xhm＋j
(15)
λhm＋j(dhm＋j－dms)pm1xhm＋1…xhm＋j ym
(16)
对所有的t个分支计算式(11)(12)(15)(16)，得
(17)
(18)
(19)
(20)
将式(5)(6)(9)(10)分别加上式(17)～(20)，再加上t个分支本身的ens多项式，就可以得到任意复杂馈线的ens多项式。di＝ds＝1时，pns＝ens。这样，对带有多条第3类分支的馈线，ens可以表示为所有简单分支的ens之和加上式(17)～(20)。
2.3 程序实现
上述可靠性计算方法看起来相当复杂，但程序实现非常简单。ens计算步骤如下：
(1) 采用拓扑分析法从配电网络中提取1条馈线的信息。
(2) 判断是否有第3类分支。若有，找到该分支的第1个开关，修正支路负荷和故障率。
(3) 采用式(5)(6)(9)(10)计算主线路和t条分支的ens多项式系数。
(4) 采用式(17)～(20)修正ens多项式的各项系数。
(5) 将开关变量值代入ens多项式，求ens多项式的值。
2.4 可靠性算例
为了说明解析法的计算过程，这里以图1的典型馈线为算例，给出可靠性ens的多项式表达式。算例的计算参数见表1。
表1 线路长度、节点负荷和可靠性数据
tab.1 line length load and reliability data
| 支路 | 长度/km | 节点 | 负荷/kw | 可靠性参数 |
| 1－2 | 0.80 | 2 | 0 | 故障率/(次/(a.km))
0.13 |
| 2－3 | 0.30 | 3 | 210 |
| 2－4 | 0.30 | 4 | 210 |
| 2－5 | 0.80 | 5 | 210 |
| 5－6 | 0.30 | 6 | 420 | 修复时间/h
5 |
| 5－7 | 0.80 | 7 | 420 |
| 7－8 | 0.30 | 8 | 210 |
首先，将小分支的负荷和故障率合并到主馈线段，得到节点2、5、7的合并负荷：420kw、420kw和630kw，以及支路1-2、2-5、5-7的合并故障率：0.0910、0.0715、0.0715次/a。设支路2-5和5-7的开关变量分别为x1和x2，常开开关的变量为y，由式(5)(6)(9)(10)，得ens多项式表达式为
ens＝682.50x1＋750.75x2＋873.60x1x2－
382.20x1y－450.45x2y－573.30x1x2y＋
1405.95y＋1132.95
(21)
将图1的开关配置x1＝1，x2＝0，y＝0，代入式(21)，得ens＝1815.45kwh。由式(21)可以看出，ens多项式的系数与开关配置无关，而只与馈线的结构、参数、可靠性参数和负荷分布有关，当馈线中的参数确定不变时，ens表达式的系数只需计算一次，具体ens的计算只涉及加减计算。解析法的这一特点特别适用于单条馈线最优开关配置的求解。
3 馈线自动化规划的模型
馈线自动化规划的目的就是要寻找一组最优开关配置，使得在满足重要用户可靠性的基础上，可靠性总费用最小。
采用解析法可以将可靠性指标ens和pns分别表示成0-1开关变量的多项式
ens(x,y)和pns(x,y)。按照投资和停电损失之和最小的原则，多阶段馈线自动化规划可以表示成如下多项式0-1整数规划模型：
(22)
式中 xi和yi分别表示常闭和常开开关在阶段i的配置变量矢量；cf为单台开关投资费用；s(xi，yi)为开关台数计算公式，可以表示成开关变量的线性表达式；ri是式(1)表示的第i阶段停电损失年费用；oi为第i阶段的运行和维护年费用；pii为阶段i投资的现值因子；pri为阶段i维护费用和停电损失的现值因子；i＝1,…,n，n为阶段数。
在式(22)表示的多项式0-1整数规划模型中，可加入约束条件来考虑开关间的保护协调，如支路m和支路n最多只能装设一台开关，可增加约束：xm＋xn≥1。模型中还可以增加约束来反映重要用户的可靠性约束。
4 多项式0-1规划问题的求解
目前，多项式0-1整数规划的求解主要有2种方法［5］：①将多项式0-1整数规划问题转化为线性0-1整数规划问题，采用隐枚举法或者分支定界法求解，这种方法需要增加许多新的变量和约束；②将多项式0-1规划转化成动态规划，再采用动态规划方法求解。本文采用动态规划法求解多项式0-1规划问题。
首先将式(22)转化成maxf(x)的情况，其中，目标函数具有如下标准形式：
(23)
此时，f(x)可以写成
f(x)＝x1g1(x2，…，xn)＋h1(x2，…，xn)
(24)
如果(x01，…，x0n)是问题的最优解，则有
(25)
于是，x1可以看作是x2,…，xn的函数，记x1＝φ1(x2,…，xn),代入式(24)，得
f(x)＝φ1(x2,…，xn)g1(x2,…，xn)＋
h1(x2，…，xn)
(26)
若f(x)在(x02，…，x0n)处达到最大值，则必在［φ1(x2,…，xn),x2,…，xn］处达到最大值。重复这一过程，每1次迭代减少1个变量，最后得到只有一个变量的函数最优化问题，就容易求解了。
设最后求得的maxfn(xn)的最优解为x0n，由下式可以得到原问题的最优解。
(27)
现在，关键是如何根据式(25)求出式(27)需要的函数φ1(x02,…，x0n)，…，φn(x0n)。设x1，…，xk是g1(x02,…，x0n)≥0的全部0-1解，则有
(28)
式中 ji＋和ji－分别表示第i个解矢量中值为1和0的x项，ji＋＝｛j｜xij＝1，2≤j≤n｝，ji－＝｛j｜xij＝1，2≤j≤n｝，i＝1,…,k。
因为解矢量x1，…，xk互不相同，所以对任意(x2，…，xn)，式(28)的右端至多有一项等于1。于是有
φ1(x2，…，xn)＝1g1(x2，…，xn)≥0
这样，式(28)定义的φ1(x2，…，xn)满足式(25)。因此，可以采用式(28)求解式(27)中所需的函数φ1(x2，…，xn)，…，φn(xn)。将式(27)(28)作为动态方程，多项式0-1规划可采用动态规划法求解。
5 算例和结果
本节以图1的简单馈线为算例，说明动态规划法求解多项式0-1规划的过程。并以图2具有多条第3类分支的馈线为例说明本算法处理复杂馈线的能力。算例中，单位停电损失ckwh取15元/kwh，停电损失现值因子取6.18，开关单位投资取10万元。
5.1 简单馈线
馈线结构如图1所示。为了方便说明，该算例不考虑pns表达式。将式(21)表示的ens代入式(22)表示的规划模型，并将极小化问题转化成极大化问题，可得如下优化问题：
max(36732x1＋30405x2－80983x1x2＋
35430x1y＋41757x2y＋53145x1x2y－
30332y)
(29)
采用上节的动态规划法，首先提取目标函数中的变量x1，得
x1(36732－80983x2＋35430y＋53145x2y)＋
30405x2＋41757x2y－30332y
(30)
式中 g1(x2,y)＝36732－80983x2＋35430y＋53145x2y≥0的解为(x2,y)＝{(0,0),(0,1), (1,1)}，由式(28)得
x1＝(1－x2)(1－y)＋(1－x2)y＋x2y＝
1－x2＋x2y
(31)
将式(31)代入式(30)，整理后得
x2(－6327＋50651y)＋5108y
(32)
此时，原问题式(29)的最优解等价于式(32)的最优解。式中，g2(y)＝－6327＋50651y≥0的解为y＝1，由式(28)得
x2＝y
(33)
将x2＝y代入式(32)，消去变量x2，式(32)的最优解可转化为求下式的最优解：
f(y)＝49488y
(34)
显然，式(34)的最优解为y＝1，由式(31)、(33)得x1＝0，x2＝1。优化结果为支路2-5装设常开开关，5-7不装设开关，不装设联络开关。
5.2 复杂馈线
馈线结构如图2所示。支路长度和负荷见表2，其他数据同表1。
表2 馈线负荷和长度数据
tab.2 feeder load and length data
| 线路 | 负荷/kw | 长度/km | 线路 | 负荷/kw | 长度/km |
| 1－2 | 23 | 0.433 | 9－10 | 267 | 0.160 |
| 2－3 | 203 | 0.605 | 10-11 | 340 | 0.250 |
| 3－4 | 134 | 0.165 | 6－15 | 967 | 0.476 |
| 4－5 | 140 | 0.523 | 15－16 | 56 | 0.328 |
| 5－6 | 140 | 0.274 | 6－12 | 140 | 0.143 |
| 6－7 | 300 | 0.243 | 12－13 | 140 | 0.176 |
| 7－8 | 140 | 0.186 | 13－14 | 89 | 0.245 |
| 8－9 | 200 | 0.152 |
采用多项式0-1整数规划法进行计算，结果如表3所示。表3将优化结果与不装开关的情况进行了比较，结果可以降低ens:6291kwh/a；pns：369kw/a；年降低用户的停电损失费用96210元。折算成现值为：96210×6.18＝ 594578元。因此，在该馈线上装设3套环网开关，投资30万元，10年内可降低用户停电损失59万元。
表3 算例计算结果
tab.3 example results
| | 结果 | 不装设 |
| 常闭开关 | 5-6, 6-7 |
| 常开开关 | 11-18 |
| 投资/万元 | 30 | 0 |
| ens/(kwh.a－1) | 12925 | 19216 |
| pns/(kw.a－1) | 1556 | 1925 |
6 结论
本文对馈线自动化规划的模型和算法进行了研究。结论如下：
(1)提出了一种新的基于解析法的配电网可靠性算法。解析法将可靠性指标ens和pns表示成开关变量的多项式表达式。多项式的系数只与网络结构有关，与开关配置无关。
(2)建立了基于最优开关配置的馈线自动化规划模型。由于ens和pns可以表示成开关变量的多项式，模型可以表示成多项式0-1规划问题。
(3)采用动态规划法求解多项式0-1规划问题。
(4)本文的研究对我国正在进行的城网改造具有借鉴意义。
作者简介：王天华(1969-)，男，湖北蕲春人，博士，从事配电网规划、配电自动化和配电管理系统(dms)等领域的研究和开发工作；
王平洋(1909-)，男，上海人，博士生导师，ieee life fellow；
范明天(1954-)，女，湖南衡阳人，教授，从事电力系统优化和分析等领域的研究及开发工作。
作者单位：王天华（北京科锐配电自动化技术有限公司，北京 100085）
王平洋（中国电力科学研究院，北京 100085）
范明天（中国电力科学研究院，北京 100085）
参考文献：
［1］ soudi f, tomsovic k.optimized distribution protection using binary programming［j］. ieee trans on power delivery, 1998, 13(1).
［2］ levtin g,et al.optimal allocation of sectionalizers in radial distribution network［c］.stockholm power tech,1995.
［3］ 王天华.配电网优化规划系统的理论研究［d］.北京：中国电力科学研究院，1999.
［4］ 林功平.配电网馈线自动化技术及其应用［j］.电力系统自动化，1998，22(4).
［5］ 陈庆华，谢政. 整数规划［m］.北京：国防科技大学出版社，1992.
