1 引言
长期以来，国内外学者对短期负荷预测的理论和方法作了大量的研究工作，提出了多种各具特点的预测方法。如时间序列法，人工神经网络法，专家系统法以及模糊神经网络法等，精度不断提高。但由于负荷变化存在着较强的随机性和复杂性，各种方法均有一定的适用场合，并需不断的改进和完善。本文研究了基于小波分析的电力系统短期负荷预测新方法。通过对经小波变化后不同尺度上的负荷序列选用较佳的匹配模型进行预测并进行重构，得出预测结果。大量数据计算表明，该方法具有较高的精度和很强的适应能力。
2 负荷预测的小波理论基础
2.1 负荷变化的连续频谱
电力负荷具有特殊的变化规律，但主要表现为两种不同的趋势：一是逐渐增长的趋势，二是以天、周、月、年为周期波动。在此基础上，影响负荷变化的因素主要包括：负荷构成、负荷随时间变化的规律、气象变化以及负荷的随机波动。根据短期负荷预测的性质，知其基本变化规律可由线性变化模型和周期变化模型来描述，同时还存在随机负荷模型。另外，气温、阴晴、降水和大风等都会引起负荷的变化。因此，负荷变化将存在波动性，所以各类用电负荷信号一般都表现为连续频谱[1,2]。严格地说，在负荷的一段连续波动过程中，将呈现为瞬变非周期信号，它必然是连续频谱。实际的负荷测量周期（如15min）虽然可以使最高频率受到限制，但无法改变其连续频谱特征。由于负荷包含随机因素，因而负荷变化的精确数学表达往往很复杂。如对气象影响的负荷，其变化过程需要用波动方程来表示。
在通常的工程简化中，单独的线性变化模型可以表示为
反映到“时频”特性上，该部分负荷可以用非周期分量来描述。对每天同一时刻的负荷分量进行分析，可以发现他们接近于一条水平线，即表现出24h循环变化规律的日周期特性。同样，对较长时间的负荷变化进行分析发现，它们通常还表现为以日、周、年等为周期的变化特性，即各分量均有不同的频率特性；而各时刻的随机负荷分量，则可以看成随机时间序列，反映到周期性上，可以以各种高频或低频信号来表示。实用中可根据工程实际需要做以下不同的假设：
（1）输入信号由衰减线性分量加上衰减基波分量和有限个衰减谐波分量（包括整次和非整次）构成，即
（2）输入信号由衰减线性分量加上稳恒基波分量和有限个稳恒谐波分量组成，即
（3）输入信号由线性分量加上稳恒基波分量和稳恒整次谐波分量组成，即
式中w1为基波角频率，以日变化频率定义为基波。
2.2负荷变化的离散频谱
离散频谱只是工程上的一种近似，考虑输入信号是高频带限的，可根据工程要求做以下不同的假设：
（1）输入信号由稳恒线性、基波和有限个谐波分量组成，即
上述分析表明，按照具体的负荷特性和指标要求，选择合适的输入信号分析模型，是设计负荷预测的第一步。因此，对电力负荷原始数据进行序列处理一直是负荷预测的重要基础。在预测前用一定的数学手段将电力负荷分解为趋势项、周期变量项和随机模型，然后根据各种变量的特性，各自选择恰当的预测模型分别进行时序外推，将各自的外推结果叠加，从而得到预测结果。
2.3负荷变化的频域特征
电力负荷特性同样可以采用时频分析工具进行分解并分析，从而得到预测结果。根据样本数据的实际情况，短期负荷预测将涉及一个较宽的频带，故可以选择不同的带通滤波器。同时，由于负荷预测综合应用了各次谐波分量，因此不仅对滤波器的幅频特性有一定要求，还必须考虑滤波器的相频特性，因为不同负荷分量的相对相位发生变化将对预测结果造成很大的影响。而对于连续频谱中的第（2）种情况，如果能提取出线性分量并加以分析，则可以把模型选择为离散频谱的形式。通常的数学手段将存在一定的缺陷，小波分析无疑是这种应用的最佳选择。
另一方面，在负荷预测计算中，当时间序列发生变化，尤其是发生突然变化时，常用算法的预测结果就不甚理想，而且在较长的时间内一直跟不上实际的数据，反映缓慢。小波分析在时域和频域同时具有良好的局部化性质，而且，由于对高频成分在时域中采用逐渐精细的分析步长，对低频成分则采用较粗的分析，因此对此类数据能够表现出一定的自适应能力。
3基于离散小波的负荷分量分解
小波分析在电力系统中的应用逐渐增多，但在负荷预测中的应用相对较少。
信号x（t）的连续小波变换定义为
此时可由信号的小波变换恢复出原信号，恢复公式为
小波函数ψ(t)经整数缩放和整节点平移生成的时间-频率空间中的函数族，构成了离散小波。
v0和w0的标准正交基，则根据小波级数展开有
相对于fn而言，fj中含有低于尺度j的频率成分，但不含有介于尺度j和n之间的频率成分，这是低通滤波的理想环境。同样，wj是f(t)中仅含尺度j的频率成分。由于不同尺度下的小波分量是正交的，这就提供了带通滤波的良好工具。因此，利用小波的分频性能，可以提取相邻频带的不同信息。由于各频带内的信息相互正交，没有冗余信息，避免了因小波变换结果之间的关联造成分析的困难，因而能够实现较宽范围的带通分量处理。而对于高通、低通、陷波等情况，只需稍作调整即可。这样负荷信息中的线性变化分量和高频随机分量，经小波变化后，其频谱将呈现明显的分离特征。由于b样条函数具有较优的平滑性和逼近性，因此，b样条平滑函数导数型小波得到应用。研究表明：以3次中心b样条函数为小波函数，以二次样条函数为尺度函数（相应的小波系数参见文献[3]）对负荷信号进行分解是合适的。
根据上述分析可知，电力负荷具有特殊的周期性，负荷以天、周、年等为周期波动，同时存在一定量的非周期分量和随机分量。对于短期负荷预测，由于原始数据的限制，小波变换可以将部分周期性的负荷分量、非周期分量以及低频随机负荷分量投影到fj中，其他周期分量和随机分量则分别投影到不同的尺度上，各个尺度上的子序列分别代表了不同的“频域分量”，它们更为清楚地表现了负荷序列的特性，图1是某电网5天历史负荷小波分解后不同尺度上的结果。由图可见，尺度1主要表现为随机分量，尺度2主要体现日周期分量及部分随机分量，其它周期分量及非周期负荷分量则主要集中在尺度3中。在此基础上，对不同的子负荷序列分别采用相应的模型进行预测。最后通过序列重构，得到完整的负荷预测结果。
4 基于模极大值的伪数据处理
当电力短缺出现拉电、限电现象以及由于通信原因而出现人为干扰因素时，历史负荷数据中会夹杂许多伪数据。伪数据的出现对预测模型的参数估计和预报精度影响很大，如果不加以识别和剔除，将会大大影响预测结果。小波分析对此类异常数据的处理包括2个方面：
（1）对经小波分析后每个尺度的负荷数据作异常数据处理
由小波奇异点检测的基本原理可知，如果选择小波函数为平滑函数的一阶导数，对信号进行多尺度分析，在信号异常点处其小波变换后的系数具有模极大值。由于小波变换每一尺度的局部模极大值浓缩了该尺度的主要信息，故由伪数据引起的异常信息将主要通过模极大值来体现。因此，通过小波变换的模极大值点，可以检测到信号可能的异常点并进行处理。设第i天同一时刻j的一组负荷经小波变换后的结果为ws(i,j)，其中，s表示第s尺度的小波变换值，由于本文采用将正常工作日（剔除星期六和星期日）与节假日分开建模，故一般有i≤5，j为15min一个样本数据。
①计算模极大值为
② 对尺度1、2，分别计算正、负模极大值的平均值为
式中k1,k2可根据实际情况选择，本文分别取为1.5，0.5。
③ 对尺度3，计算平均值：
（2）建立在分段频带思想上的小波函数对于分解高频分量及非周期分量有良好的效果。但当信号中混入了随机干扰，由于随机信号的频谱很不规则，它们的出现也有很大的不确定性，当它们与有效信号的频谱差别不大时，将不能有效地识别。分析表明，这些干扰常常导致信号的奇异性，如以lipschitz指数来衡量奇异度时，根据有效信号奇异点的lipschitz指数与干扰的区别，利用小波分析的时-频局部化功能，可以将各种干扰信号提取出来。
其基本原理证明如下：
其中，x(t)为平稳随机信号，x＇(t)为零均值平稳随机噪声，它可以被看作是噪声n(t)驱动的某个线性滤波器的输出，即x＇(t)=h(t)×n(t)，mx是x(t)的均值。则：
这是小波变换去除部分伪数据的依据。即当尺度逐渐变粗时，模极大值幅度和数目减小的点认为是非有效信号，从而把它滤掉，恢复后的信号即认为是去噪信号。
5 建立在小波分析基础上的组合预测模型
5.1 负荷分量性质的分析
小波变换可以将负荷分量投影至不同尺度，尺度分解的次数将是值得探讨的一个因素。研究发现，只要在不同尺度上选用相应匹配的负荷预测方法，就能取得可靠结果。在一定的预测要求下，尺度选得太大对精度的提高将没有明显的优势，同时还会降低计算的效率。大量计算结果和试验表明，以3次中心b样条函数为小波函数，以二次样条函数为尺度函数,对负荷数据分解至尺度3是合适的。根据对负荷分量性质的分析，随机负荷分量主要集中于尺度1，尺度2主要体现日周期分量及部分随机分量，其它周期分量及非周期负荷分量将主要集中在尺度3中。以此为基础，可以根据不同尺度上负荷变化的规律性趋势决定负荷预测的方法。
5.2 尺度1的数据处理
尺度1包含大量的随机分量，适合采用时间序列法(arma)进行分析。在建立模型时，应考虑历史数据平稳性和稳健分析的要求，对原始数据做相应的处理。
（1）kalman滤波
利用前后负荷的相关关系，对历史数据进行初步过滤，并根据递推公式，得到相应的正常数据代替原来的数据。其公式为
式中x(t)为尺度3中t时刻真实负荷值；y(t)为测量值；w(t),v(t)为白噪声干扰序列；a为负荷相关因子；c为测量值与真实值之间的相关因子。
一维随机信号的递推估计器表达式为
以均方估计误差最小为准则对估计器的加权系数a(k)、b(k)进行最优化推导，可以得出kalman滤波器最优估计的递推算法。
（2）样本数据截短及残差处理
电力负荷具有周期性，并存在小时相关和天相关，表现出较强的非平稳特性。时间序列法对样本数据平稳性要求较高，虽然小波处理过程中已经对负荷数据作了一次差分剔除，但由于小波变换的频域混叠，尺度3中的数据仍有不平稳现象。因此需要采用差分方法将其进一步剔除。差分公式为
式中x(t)为样本数据t时刻负荷值；y(t)为差分t时刻值；b为延迟算子。
计算表明，由于伪数据的存在，传统的差分处理结果会有些毛刺，将会对建模产生很大的影响。通过利用小波分析对伪数据进行处理，差分结果表现得非常平滑。
（3）自动搜索定阶
本文采用5天工作日与节假日分开建模的方法。考虑样本数据过大，会带来时间跨度以及天气因素的影响。因此每一算法采用5天的数据。自动定阶过程满足以下条件时，停止搜索：残差平方和最小或当对所有历史负荷拟合时，相对误差£3%。
5.3 尺度3的数据处理
图1非常清晰地表明，尺度3的负荷分量主要表现为线性分量和周期分量的合成。因此，其预测模型宜采用不同模型的合成来表示。同时，由于电力负荷包含有部分基本负荷，它是一天24h内固定不变的负荷，作为一确定值而无须预报。故在数据处理以前，首先应减除基荷分量。取各样本点的平均负荷乘以基本负荷系数作为基本负荷，而剩余负荷则被用来计算预报出估计值。基本负荷系数视各地区电网而定，本文取0.85。剩余负荷的处理采用线性变化模型和时序倍比预测法[4]的合成进行拟合。线性变化模型见式(1)，为了体现“远大近小”原则，可对各时段的拟合残差选用不同的权重ut。倍比预测法。设尺度3上第i天第j时刻到预测明日的倍比增长变化为
式中ai为第i天的倍比增长变化率的权重，且
wz(j)为次日j时刻的负荷预测残差。
为了进一步改善预测精度，还可以建立参数自校正的倍比预测模型。
5.4 尺度2的数据处理
尺度2的数据既有一定的周期性和线性特性，同时又受到部分随机因素的影响，这是小波变换的频域混叠造成的[5]。因此,尺度2的样本数据将采用组合预测模型[6]。在进行负荷预测时主要应用以下几种方法：线性趋势分析法，时间序列法以及时序倍比预测法。
组合预测方法的关键在于怎样确定组合权系数，有关的解决办法可以参见文献[6]。本文对线性法，时间序列法以及时序倍比预测法分别选用0.1,0.35,0.45的权系数。
5.5 负荷预测中偶然因素的处理
偶然因素主要包括特别事件、天气因素以及系统运行方式等对负荷造成的影响。只有通过大量事件的记录，才能从中分析出对负荷的影响程度。小波分析通过对模极大值的识别，不但能够有效地剔除部分非正常数据，而且还可以将它们记录下来作为调度员进行人工分析、干预处理的重大依据。
6 算例验证
采用上述方法对华东某电网的历史数据进行了预测仿真。原始历史负荷数据文件均为480个数据（5天），其中工作日数据和周六、周日数据组成不同性质的原始数据库。其预测曲线如图2~4所示，其中实线为实际负荷值，虚线为预测值。由图可见预测曲线与实际曲线比较吻合。表1为两个类型日（工作日、双休日）的误差按小时分析结果。
对一个月的负荷分析表明，工作日的日平均误差低于1.101%，最大误差不超过-1.912%。周六的日平均误差低于1.379%，最大误差不超过2.850%，周日的日平均误差低于1.316%，最大误差不超过-2.911%。
7 结论
对负荷信号进行分析发现，它们通常表现为以日、周、年等为周期的变化特性，即各分量均有不同的频率特性；而各时刻的随机负荷分量，则可以看成随机时间序列，反映到周期性上，可以以各种高频或者低频信号来表示。因此，负荷信号的变化过程具有连续频谱的特性。以此为理论基础，本文提出了基于小波分析的电力系统短期负荷预测新方法，通过小波变换，将各序列分量分别投影到不同的尺度上，并对不同的子负荷序列分别采用相应的模型进行预测。最后通过序列重构，得到完整的负荷预测结果。通过对实际预测结果的分析与评价表明，新方法具有较高的预测精度。
参考文献
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