1 引言
配电网的无功优化是降损节能的一项重要措施，其控制手段主要包括电容器的投切和有载调压变压器分接头的调节。在电力系统实际运行中，由于负荷总是不断变化的，所以针对单个时间断面进行的静态优化计算是无法满足实际运行需要的。考虑将各点负荷形态变化的系统优化为动态优化。要真正得出一个可操作的无功优化方案，就要有一个可行的动态优化算法。
动态无功优化是个十分复杂的时空分布非线性优化问题。一方面，单个时刻的优化是一个复杂的非线性整数优化；另一方面，一段时间内的优化必须考虑负荷的动态变化。对于这样一个问题，要找出全局最优解十分困难。通常的做法是在计算效率和全局最优二者中取折中，即在简化模型的基础上求得一个较好的优化结果。
现有的关于动态无功优化的文献中，其算法采用的简化模型大致可分为2种：① 状态解空间的简化[1,2]；② 动态负荷模型的简化。第①种方法是采用一定的策略来缩小解的搜索空间。在文献[1]中，将阶段n时的状态变量定义为从阶段0到n时电容器的总投切次数，有效地降低了搜索维数。但是电容器控制变量被简化成0/1变量，而且当电容器数目或最大允许动作次数增加时，整个问题的求解规模会变得很大。文献[2]采用启发式搜索的思路，通过保存每个阶段有限个目标函数值最好的状态来缩小搜索空间。这种算法所要求的内存和计算量随着控制变量的增多而增长，无法应用于实际的大规模配电系统。第 ② 种做法是通过处理动态负荷[3]将十分复杂的时空分布的动态优化问题转化为几个简单的空间分布的静态优化问题，使静态优化的结果自动满足动态优化约束。文献[3]首先对最优网损曲线进行分段、等值，然后相应地划分系统/节点负荷曲线段，从而对全天的负荷曲线进行等值，使得负荷的分段自动满足动态优化约束的要求。但此算法要求控制设备具有动作同时性，即所有的设备在某一时段都进行投切动作或都不动作。
现有的动态无功优化算法都是针对一个单独的变电站或中压配电网的。本文提出了一种适用于高中压配电网的动态无功优化算法，此算法在实用性和最优性方面都有较好的结果。
2 动态无功优化模型
2.1动态负荷模型
动态无功优化是在已知未来一天的系统负荷曲线与母线负荷分布（由负荷预报模块提供）的前提下进行计算的。通常配电网的日系统负荷预报和母线负荷预报会给出未来24 h内的系统有功负荷数据和各母线有功负荷在系统负荷中的比例，并根据负荷的功率因数统计值算出母线无功负荷。
电力系统的实际负荷是连续变化的，但连续的负荷曲线是不可能用于优化求解的。通常的处理方法是分时段静态化，即将连续变化的负荷曲线简化为阶梯状分布的曲线，认为各时段内负荷保持不变。分段越多，最终求得的解越接近实际最优解。本文选取未来24 h作为研究对象，以小时为单位将其划分为24时段。
2.2 动作次数约束
由于我国的设备制造技术和水平所限，分接头和开关都有一个由允许操作次数表征的设备使用寿命。在实际系统运行中，为了延长设备的使用年限，运行规程中对分接头和开关在一定时限（如一天）中的操作次数有明确的限制。因此，频繁变化的优化方案没有可操作性，对每个控制变量都要满足动作次数不超过某个上限的约束。
正是这个约束大大增加了动态无功优化的难度。如果不考虑动作次数的约束，由于电网在各时刻的最优运行方案只与当前的状态有关，因而各个时段的优化是分别独立的，完全可以将动态优化按负荷的分段转化为分时段的静态优化，动态优化在时间上的复杂度就完全不存在了。而动作次数的约束破坏了各时段间的独立性，使动态无功优化成为一个必须从时间整体上来考虑的全局优化。如何处理好这个约束正是动态优化求解的关键。
2.3 优化模型
由于配电网络结构的辐射状特性，可以将优化问题分解为针对各独立子网的子优化问题。以下的讨论均针对每个子网的优化，并假设子网内共有n个母线，m台可投切电容器组，l个带有载调压分接头的变压器。
本文以全天系统网损之和（能量损耗）最小为目标函数，选取电容器投切和有载调压分接头调节为控制手段。考虑电压约束与投切量的整数约束，假设实际系统允许一天内电容器组最大的投切次数为
，变压器分接头的最大允许调整次数为
。则精确的动态优化模型可写为
式中，
为变量s的下限；
为变量s的上限；
，代表24个时段内的各母线电压矩阵。vi为时段i内的n维母线电压行矢量;
，代表24个时段内的各电容器组的容量矩阵。qi为时段i内的m维容量值行矢量；
，代表24个时段内的各分接头档位矩阵。ti为时段i内的l维档位值行矢量；
bc是一个m维的对角线矩阵，其对角元为相应电容器组的单台容量；
k=[k1, k2, k3,… ,k24]t，ki为时段i内的电容器组投运台数，是一个m维的行矢量，各分量都为整数；
sc代表24 h内各电容器组的总动作次数，是一个m维的矢量；st代表24 h内各变压器的分接头总调节次数，是一个l维矢量。
由上述模型可以看出，控制变量q是一个24´m维的矩阵，t是一个24×l维的矩阵。当m和l增长时，问题的规模就会成倍地扩张。另外，投切次数的约束无法用控制变量的数学表达式来描述。因而，庞大的计算量和投切次数的约束是动态无功优化问题求解的2个难点。
2.4 控制变量的简化
由于将负荷划分成了24个时段，每个控制设备可以在24个时段中的任何一个时段动作，但最多只能动作
次。动态无功优化就是要确定每个控制设备在24个时段内如何动作，以达到整体能耗最小的目标。
在式(1)中，对每一个控制设备，其控制变量的取值是一个24维的矢量，这24个值都是待求解的未知量。但在最终的求解结果中，由于控制设备受到最多只能动作
次的限制，所以，这24个数值中互不相等的个数最多只能是
个。以某个有载分接头为例，假设分接头在一天内的动作时刻分别是第t1, t2, ti,… t
时段，相应动作后的档位值为p1, p2,… pi,…, p
，则分接头档位在一天内的取值可用式(2)表示。式(2)中用
个变量来表示变压器分接头档位在一天内的值，与式(1)的表达相比，它是一种稀疏矢量的表示方法，同时也使控制变量自动满足了动作次数的约束。
按照上述思路，对每个控制变量可以直接选取
个取值以及所对应的动作时间点ti作为求解量。最终对每个参与优化的电容器组只要求出2×
个未知变量的值，对于每个有载分接头只要求出2´
个未知变量，就能确定系统在24 h内的优化方案。在实际系统中，
和
的取值一般不会超过10次，因而每个控制变量所对应的未知量数目都减少了。这种建模方法既减少了问题求解的规模，又自动考虑了动作次数的约束，同时解决了动态无功优化问题中的2个难点。
3 基于整体求解的动态无功优化算法
3.1 时间控制变量的预处理
3.1.1基本思路
上述的建模方法将动作时间点ti作为优化模型的求解对象，虽然简化了数学模型，但由于ti是离散量，而且与网损和各母线电压都是复杂的非线性关系，所以优化问题的求解仍然是十分复杂的。为了解决这个问题，需要对离散的时间控制变量进行特殊处理。其基本思路是：先根据一定的启发式规则对每个控制变量确定一个按动作优先级排序的时间队列，然后再通过分阶段的优化来动态调整这个时间优先级队列。
3.1.2启发式规则确定的时间优先级队列
选择什么样的启发式规则来对时间段进行排序将直接影响到优化求解的结果。从实际系统中电压无功控制的情况来看，在负荷的最小和最大点要保证没有电压越限；在负荷变化剧烈的地方，无功电压控制要能跟踪负荷的变化以保证运行的安全性和经济性。基于此，本文确定无功电压控制设备动作的基本出发点是：如果系统的初始运行状态足够好（网损小，电压合格率高），那么在负荷变化最剧烈的时刻也最需要相应的控制设备动作。以某台电容器组为例，本文所采取的规则如下：
（1）根据电容器组所在母线的负荷曲线，按照相邻时段负荷变化的剧烈程度进行排序。例如，对图1中的负荷曲线可排序为：(t7, t10, t9, t5, t1,…,)。对于最后一个时段，考虑每天的负荷曲线近似相同，将其与第一个时段的负荷进行比较，如图1所示。图中，t10时刻的负荷变化是将t9~t10时段与t0~t1时段进行比较；
（2）对t0~t1时段进行潮流运算，电容器组容量取初值q0。如果计算得出的网损比ploss/pload>;某一预定值，或馈线注入功率的功率因数<预定值，或电压存在严重越限，则将t0放在上述时间队列的第一位：(t0, t7, t10, t9, t5, t1,…,)；
（3）对此时的时间序列进行考察，如果排在第一位的ts≠t0,则对t0, t1,…, ts各时段依次计算潮流。如果时刻tk(0≤k≤s-1)存在严重的电压越限，则将tk放在队列的第一位：
并中止以下的潮流计算；否则继续对以下时段进行潮流计算，直至ts。
对于每个可调变压器，其离散时间控制变量的处理方法基本相同。在上述的规则（2）、（3）中，只根据电压越限情况来调整变压器的时间队列。
3.1.3时间优先级队列的动态调整
在3.1.2节中，对时间队列按动作优先级排序，所利用的信息只包括系统在t0时的初始状态和一天内的负荷分布，而无法预知各个时段状态的动态变化，所进行的动作优先级计算只是一种静态决策,因而预先选择的时间点需要根据实际优化计算中的动态信息进行调整。
图2给出了动态调整时间队列的流程图。图中的cp是电容器容量对网损的灵敏度，cs是分接头档位对越限母线电压的灵敏度；δq和dstep分别是电容器容量和分接头档位的调整量。
根据3.1.2节所确定的时间队列，对每个时段分别进行优化计算，如：在某个时段,某个控制设备所带来的优化效益很小，表明此控制设备的时间点选择需要进行修正。每一个控制设备对应的优化效益是将其对网损或越限母线电压的灵敏度系数cp或cs和其状态调整量δq或dstep相乘近似得到，然后将此乘积和一个预先确定的指标(电容器：ec，变压器：et)相比较来决定是否需要对时间队列进行修正。修正的方法是从这个时段开始，对其后的各个时段分别进行潮流计算，得到这个控制设备在各个时段对优化目标函数的灵敏度cp或cs，并根据各灵敏度大小及此控制设备已经动作的次数来决定此设备在其后的各个时段是否动作。此处的优化目标函数不仅包括网损，还包括母线的电压合格率。
在分段优化中调整过的时间队列，考虑了在不断优化过程中控制设备初始状态的动态变化，使离散时间变量的排序更加符合动态优化的要求。
3.2 模型的简化
经过对离散时间量的排序，每个控制变量都对应着一个按动作优先级排序的时间队列。在优化计算时，首先从每个控制变量的时间队列中取出前
个时刻作为相应的动作时刻。此时，每个电容器组所要求解的未知变量是
个容量取值；每个有载分接头对应的未知量是
个档位取值。动态无功优化的数学模型转化为
式中q¢为各电容器组的
个容量值，维数减小为
´m；k¢同理；t¢的维数减小为
由于一般系统的控制变量最大允许动作次数不超过10次，所以对每个控制变量，其状态变量个数由24个减小至10个以内，整个优化计算的规模减小。最重要的一点是此时的优化模型已经摆脱了动作次数的约束，其模型和单时段的优化完全相同，只是求解的规模增大。
3.3 求解方法
对式(3)所描述的模型，其求解的方法仍可采用任何一种针对固定负荷的静态无功优化算法。本文所采用的算法是将优化分解为电容器投切和分接头调整两个优化子问题。电容器投切采用逐次线性归整算法[4]，分接头调整采用按区域划分逐个调整的非解析方法。与静态无功优化不同的是,在每个优化子问题中，控制变量与状态变量的维数都增大。
在电容器投切计算中，将q表示成一个列矢量：
其中，第1个下标代表电容器组的标号，第2个下标代表各电容器组对应的每个动作时刻。由于各个时刻的运行只与当前的负荷和电容器组状态有关，所以，每个时刻对应的最优结果应不受初始状态的影响。在线性化求解时得到的系数矩阵是一个很稀疏的矩阵。例如，将状态变量线性化时，i时刻的电压vi只与i时刻的电容器组容量取值有关，即vi只有对qji, j=1, 2,…, m的偏导数才不为0。所以，尽管整个求解问题的维数增大，但可利用稀疏技术进行存储与计算，从而不致耗费过多的存储空间与计算时间。
在变压器分接头优化中，由于采用了非解析的算法，不存在存储空间的消耗。只是对每个变压器，它所管理的母线电压是一个24维的矢量，每个变压器分接头最终求得的调整量是个
维的矢量。
3.4 算法特点
通过以上对基于整体求解的动态无功优化算法的描述可以得出：
（1）本文的算法直接从动态无功优化的数学模型入手，思路简洁，无需复杂的数学推导与理论；
（2）控制变量的表达直接考虑了动作次数的约束，同时又降低了优化问题的规模，简化了数学模型与求解方法；
（3）可以利用任何适用于静态优化的方法来求解。虽然问题的维数相对增大，但由于各个时间段之间互相解耦，因此，求解过程中的很多线性化矩阵都是稀疏的。利用稀疏技术进行存储与计算，将减少所需的存储空间与计算时间；
（4）算法考虑的可投切电容器是一个多台投切模型，而不是将其简化为0/1投切[1,2,5,6]；
（5）算法中各控制设备的动作是互相独立的，不再有动作同时性的限制[3]；
（6）该算法适用于整个高中压配电网。
4 算例
本文算法用c++语言实现，用2个实际系统作为算例来检验。算例a是一个2馈线、17节点、6电容器组、2变压器的系统；算例b是某县调系统，共有199个节点、3组电容器和20个变压器(3个可调)。各算例的动态负荷划分为24个时段，电容器组和变压器的最大允许动作次数都是
。用pentium ii 400微机来计算，结果如表1所示。
从表1的结果可以看到，对于电容器组和变压器动作次数没有任何限制的分段静态优化（
=24），其能耗下降量大于动态优化的结果，但两者相差不多。另外，在分段静态优化中，控制设备的动作是很频繁的。下面以系统a为例给出详细的动态优化和分时段静态优化计算结果的比较，图3是系统a在24 h内的系统有功负荷曲线。
图4是系统a在24 h内总的能耗下降量和最大允许动作次数之间的关系曲线。当
=0时，系统没有进行任何优化，相应的网损下降量为0；当
=24时，为分时段的静态优化，相应的网损下降量为1590.1kwh。图中的结果显示，当最大允许动作次数
增大时，优化后的网损下降量也逐渐增大。因为从优化的原理考虑，无约束的优化所得到的结果应该比有约束优化的结果更好，或两者相等。当控制设备的最大允许动作次数逐渐增大时，相当于其约束逐渐放宽，因而优化取得的效益也保持递增的趋势。但图4中网损下降量和最大允许动作次数之间并不是严格的单调递增关系，这是因为单时段的静态优化算法并不能得到理论意义上严格的全局最优解。
图5是电容器组5在静态优化和动态优化计算过程中的容量变化曲线。在
=24的静态优化中,电容器组5共进行了15次投切，从图中也可看出其容量在24h内频繁地变化。而在
=5的动态优化中，由于受到最大投切次数的约束，电容器组5的容量只变化了5次。同时，图5还表明,对于单台电容器组，其容量取值在两种优化结果之间没有什么规律性的关系，有时甚至相差很大。例如在第18时段以后，动态优化中的电容器组容量始终保持在2500kvar，而静态优化的电容器容量则逐渐减小。这主要是因为优化是所有控制设备协同参与的结果，而图5只给出了其中一台电容器组的容量变化，并不能反映整体的优化效果。
5 结论
本文提出了适用于高中压配电网的动态无功优化算法。该算法从动态优化中的控制设备动作次数约束出发，通过控制变量的简化，摆脱了动作次数约束的限制；通过对动态负荷的处理，又进一步将动态无功优化的模型简化成与静态优化模型相同的形式，从而可以直接将静态优化中的算法应用到动态优化中。
算例结果表明，本文提出的动态无功优化算法能在完全满足动作次数约束的前提下，降低系统在一天内的能量损耗，提高电压合格率，且算法的速度完全能满足实时运行的需要。
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