1 引言
非圆齿轮传动可以用来实现许多变速比传动机构,满足某些特定应用场合的需求,解决了其它机构难以实现的某些特殊运动。但由于非圆齿轮的节曲线不是圆,所以在设计和制造中存在着许多与圆齿轮不同的特殊问题。其中啮合理论及加工方法中的不少理论及实际问题,在近几年来已随着cad及数控技术的发展得到了很好的解决。然而对于非圆齿轮节曲线的形状还未能寻找出一种有效的控制方法。并非任何形状的曲线都能用作非圆齿轮节曲线,实用的非圆齿轮节曲线形状要受到许多限制,比如要满足啮合压力角范围及根切限制条件的要求等,因而仅用几种常规的标准解析型函数来调整非圆齿轮节曲线的形状,具有很大的局限性。使用离散点拟合来设计非圆齿轮节曲线将是解决其形状控制的最有效的途径。本文针对非圆齿轮节曲线构成的特点,选取极坐标中极角变量作为参数,来构造非圆齿轮的三次样条节曲线,较好地解决了由拟合曲线的型值点来控制节曲线形状的问题。
2 用三次样条曲线取代已知节曲线上的某段
假设已知原非圆齿轮节曲线是一条由标准解析型函数表示的曲线,其极坐标方程为:p＝p（θ）,这里:0≤θ≤2π，p0、p1是节曲线上的两点,它们对应的极角分别是θ0及θ1,且θ0＜θ1,如图1所示。现在构造一条曲线经过p0及p1两点,取代p0及p1之间的线段,并与节曲线的其它部分光滑连接起来。
图1 以极角θ作为参数的三次样条曲线图
若采用矢量表示,则p0及p1点矢量分别为:
p0＝p（θ0），p1＝p（θ1）
在p0点,曲线p（θ）的单位切线矢量e0为:
在p1点,曲线p（θ）的单位切线矢量e1为:
由于只需所求曲线与原曲线在p0及p1点光滑连接,即要求有相同的切线方向,所以分别给待求曲线在p0及p1这两点的切线指定两个非负权系数ω0及ω1,这个待求曲线在p0点处的切线矢量为ω0e0,在p1点处的切线矢量为ω1e1。实用中,与某个非圆齿轮固联的坐标系原点就是其回转中心,为了便于对啮合副节曲线进行设计,选取极角变量θ作为待求曲线的参数,其取值范围在θ0至θ1之间,设待求的三次曲线为:
（1）
式中:θ∈［θ1，θ1］,而ci（i＝0，1，2，3）为待求的常向量。
式(1)有下面四个端点条件可利用:
r（θ0）＝p（θ0），r（θ1）＝p（θ1）
r′（θ0）＝ω0e0，r′（θ1）＝ω1e1
显然,这是hermite型曲线的问题。将端点条件代入式(1),并求解方程组可得各待定常向量,再代入式(1)并整理可得:
r(θ)＝f0(θ)p(θ0)＋f1(θ)p(θ1)＋g0(θ)ω0e0＋g1(θ)ω1e1（2）
式中:f0（θ）、f1（θ）、g0（θ）、g1（θ）——三次样条中的调和函数。
为:
从式(2)可以看出,调整权系数ω0、ω1的值可改变曲线的形状。如果要求待求曲线与原曲线弧长相等,则有:
（3）
由式(3)可得权系数ω0及ω1的关系,若再指定ω0或ω1二者之一,则待求曲线便被唯一确定下来。
3 由若干离散点拟合成闭合节曲线
设要求的非圆齿轮节曲线r（θ）通过n＋1个离散的型值点p0（x0，y0）、p1（x1，y1）、p2（x2，y2）、…pn（xn，yn）,为了具有实际意义,与齿轮固联的坐标系原点0应位于由点p0至pn所构成的多边形内部。只要这个多边形是凸多边形,就能保证节曲线的形状呈凸形。
为了利用极角作参变量,把离散点pi的直角坐标（xi，yi）转换成对应的极坐标（ri，θi）。为保证曲线能首尾相接,形成光滑闭合的曲线,在曲线末尾增加一个端点pn＋1,使其与p0点重合,pn＋1点对应的极径与p0点极径相等,而pn＋1点对应的极角θn＋1等于θ0＋2π,从而可形成一闭合周期的节曲线。用p1－pn作为端点p0及pn＋1处的切线矢量,这样,对于θi－1至θi区段的三次节曲线方程为:
r（θ）＝fi0（θ）pi－1＋fi1（θ）pi＋gi0（θ）ti－1＋gi1（θ）ti（4）
式(4)中,θ∈［θi－1，θi］,而ti（i＝1，2，…n）可通过下面的方程组求出:
λiti－1＋2ti＋ξiti＋1＝bi（5）
而指定:t0＝tn＋1＝p1－pn
式中:
fi0（θ）、fi1（θ）、gi0（θ）、gi1（θ）是调和函数,表达式为:
（6）
4 用三次样条设计节曲线实例
现以非圆齿轮低速大扭矩液压马达节曲线为例,来说明利用三次样条进行节曲线设计的具体方法。图2所示是该机构中各齿轮的节曲线,其中太阳轮及内齿轮的节曲线都是非圆的,只有行星轮的节曲线是圆的。
图2 液压马达节曲线啮合图
若在设计中把太阳轮节曲线看作是主动的,那么内齿轮的节曲线是根据太阳轮的节曲线及啮合关系推导出来的。设r1（θ1）为太阳轮节曲线的极坐标函数,r2为圆行星轮的分度圆半径,r3（θ3）为内齿轮节曲线的极坐标函数,现在我们利用离散点拟合法进行这一机构啮合副的节曲线设计。
由图2可知,对于呈三角形的太阳轮,其周期为2π／3,为此,先在平面上指定三个固定点,如图3所示,这三个点至坐标原点的距离相等,记作ρ,极坐标分别为:
图3 太阳轮节曲线的离散点拟合图
在p0点,指定节曲线切线的单位矢量为e0＝｛－1，0｝，在p1点,指定节曲线切线的单位矢量为e1＝｛1／2，－
／2｝,在p2点,指定节曲线切线的单位矢量为e2＝｛
／2，1／2｝,并令三个切线的权系数相等,即:
ω0＝ω1＝ω2＝ω
则可得到太阳轮在三段节曲线上的分段表达式,其中在点p0至p1段的节曲线用三次样条表示即为:
r1（θ1）＝f0（θ1）p0＋f1（θ1）p1＋g0（θ1）ωe0＋g1（θ1）ωe1（7）
式中:
——调和函数。
可由式(6)得到为:
同样也可得到p1至p2段,p2至p0段节曲线的三次样条表示式。由式(7)可知,改变ρ或ω的数值,曲线的形状随之发生变化。
太阳轮与内齿轮通过行星轮进行啮合,这三条节曲线有着密切的关联。由啮合原理可知,啮合副的节曲线必须满足封闭及轮齿等分这两个重要条件,根据文献［1］,太阳轮节曲线的封闭条件为:
（8）
式中:μ——太阳轮节曲线在某点的切线正向与该点矢径的夹角。
为:
（9）
而节曲线上轮齿等分的限制条件为:
（10）
式中:z1——太阳轮齿数;
m——齿轮模数。
式(8)及式(10)的条件也同时能够保证内齿轮节曲线的封闭及等分。内齿轮节曲线的极坐标表达式为:
（11）
这里,为方便起见,我们选用文献［1］的设计步骤,即先确定其它需要圆整的参数,最后确定ρ及ω。选取模数m＝2．5，r2＝15mm，z1＝78，代入由式（8）及(10)组成的方程组中,数值解计算结果为:
ρ＝82．4993mm
ω＝319．2269
由此,便得到分三段用三次样条表示的太阳轮节曲线。当太阳轮节曲线确定后,内齿轮的节曲线也随之由式(11)确定下来。它们的节曲线形状如图3所示。
5 结论
本文深入研究了利用三次样条来进行非圆齿轮节曲线设计的方法,提出将极角作为参变量来构造非圆齿轮节曲线,使节曲线的形状调整不仅仅局限在常规的标准解析型函数的范围内。该方法基本解决了非圆齿轮节曲线的离散化设计问题,对非圆齿轮设计具有一定的应用价值。
作者单位：刘生林 黄先祥(第二炮兵工程学院 西安 710025)
吴序堂(西安交通大学)
参考文献
1 刘生林,吴序堂,赵宗涛.非圆行星传动研究.机械设计,1995,12(8):13～17
2 孙家广,杨长贵.计算机图形学.北京:清华大学出版社,1995
3 m．a jamaludin，h．b．said and a．a．majid．shape control of parametric cubic curves，proceedings of the fourth international conference on cad／cg，huazhong university of science and technology，wuhan china，1995，9：161～166
