1 问题的提出
在产品结构的可靠性分析和设计中,一个基本要求就是应达到一定的可靠度(也叫存活率)。现实生活中,经常遇到的情况是,在一种较成熟的产品型号基础上,不断改进生产出各种型号的后续系列产品,新产品总是在原产品的基础上做部分改动,因此系列产品间具有良好的继承性。无论对于军用还是民用产品,这种系列产品生产方式是普遍采用的方法［1］。由于受到诸如材料、设计、加工制造、质量控制、使用环境等多方面因素的影响,产品的质量不可能是一个定值,而是服从某一分布的随机变量［2］。对于分批生产的系列产品,由于各批产品之间有所改动,因此其产品质量分布将会不同,人们希望在反复、长期使用该系列产品时,它们可靠度的期望值(称为综合可靠度)能达到规定的要求。那么,系列产品的综合可靠度如何计算,如何保证综合可靠度满足可靠性要求,就成为人们非常关心的问题。本文将以应用最为广泛的正态分布为例,对此问题进行讨论并提出一种有效的方法。
2 系列产品的综合可靠度
2.1 无检验的综合可靠度
设某成熟产品质量x为正态随机变量,即x～n（μ0，σ20）,根据可靠度(存活率)的定义,应有:
p｛x≥xs｝＝p
式中:p——可靠度;
xs——对应可靠度p的安全下限。
由于x服从正态分布,当定出可靠度要求p时,可求得xs为:
xs＝μ0－upσ0（1）
式中:up——标准正态分布p分位点。
此成熟产品的分布已知,参数μ0和σ0是通过以往大量数据和工程经验信息统计得到的,作为该产品的已知信息。我们要考虑的问题是在该产品的基础上又生产了改进的多批产品,它们各自的质量xi(i＝1，2，3，…)也是正态随机变量。由于材料、工艺技术、人员设备等因素没有大的变动,可以认为各批产品属同一系列,其质量的标准差仍为σ0,质量变化主要表现在均值的变动上,即后续各批产品的均值μi（i＝1，2，3，…）不再是μ0。因为改进的目的、方法各不相同,从全面的角度出发,μi小于、等于或大于μ0的情况都可能出现,由于产品的继承性,有理由假设系列产品的均值μi组成的集合,服从一个以原型产品均值μ0为峰值的分布f（μ）,即后续系列产品质量均值μi接近μ0的可能性最大。图1示意了系列产品质量均值μi集合的分布f（μ）和系列产品质量xi的分布。从全面的观点考察f（μ）分布的形式,可将其分为对称、左偏、右偏三种大情况,由于如图1中所示的左偏情况最易导致综合可靠度的降低,应重点予以重视,本文的算例分析就是针对这种情况的。
图1 系列产品μi、xi分布示意图
对成熟的原型产品质量x,通过公式(1)可得到安全下限xs,它对应的可靠度为p。由于后续系列产品是在该成熟产品基础上的改动,自然要求它们在仍以xs作为安全下限时,综合可靠度pr至少应达到p。下面推导pr的求解公式。
由于系列产品质量xi均服从正态分布,设其密度函数为φi（x；μi，σ0）,均值μi的集合服从如图1所示的f（μ）分布,故可应用全概率公式［4］得出综合可靠度pr为:
（2）
公式(2)即无检验时综合可靠度的计算式。
对于同样的质量变化δμ＝μi－μ0，由于质量降低（δμ＜0）时可靠度的降低量－δp,比质量提高（δμ＞0）时可靠度的提高量＋δp大,即质量好上加好对综合可靠度提高不大,而一旦下降则必然使综合可靠度降低,所以除非系列产品质量普遍提高,一般情况不能保证pr≥p。为了确保在安全下限xs时有pr≥p,本文提出了用假设的显著性检验保证综合可靠度的方法。
2.2 用假设的显著性检验保证综合可靠度
由于产品生产的继承性,假设后续系列产品的质量与原产品相当,即有:
h0∶μi＝μ0（h1∶μi＜μ0）
对各批产品随机抽取n个样本进行h0假设的显著性检验,由于我们更担心质量降低引起综合可靠度的下降,因此只进行单边检验。
给定显著度α,可建立概率条件:
p｛
＜xj｝＝α
因为若h0成立,则
～n（μ0，σ20／n），故可求得:
（3）
式中:uα——标准正态分布1－α分位点;
xj——h0假设拒绝域的临界值。
当某批产品均值为一任意μ,即x～n（μ，σ20）时,这批产品对h0的接受概率为:
而此时该批产品以xs为安全下限的真实可靠度为:
p｛x≥xs｝＝1－p｛x＜xs｝＝1－
当考虑到系列产品均值的所有可能性(即f（μ）分布的定义域)时,由条件概率及全概率公式［4］可得到综合可靠度pr为:
（4）
当原型产品均值μ0、标准差σ0及系列产品均值μi的集合分布f（μ）已知,给定可靠度要求p、检验的样本容量n和显著度α,则可由式(1)、(3)、(4)联合求得系列产品的综合可靠度pr。当然一般pr≠p,当综合可靠度达不到要求时（pr＜p）,我们可以调节假设拒绝域的临界值xj,即通过改变样本容量n和显著度α的组合,拒绝掉质量差的某些批产品,以使整体产品的综合可靠度达到要求（pr≥p）。这样,通过假设的显著性检验,可以保证系列产品的综合可靠度满足要求。
2.3 算例及讨论
例:设某成熟产品疲劳寿命服从对数正态分布,即x＝logn～n（μ0，σ20）,概率密度函数为:
以此产品为基础发展了类似的系列产品,设这些系列产品均值的集合服从f（μ）分布,其概率密度函数表达式为:
f（μ；μ0，λ）＝λ．exp［λ（μ－μ0）－exp［λ（μ－μ0）］］
形状如图1中所示。已知参数μ0＝4．0，σ0＝0．176，λ＝9．0;可靠度要求p＝0．999,试求系列产品的综合可靠度pr,并通过假设的显著性检验保证综合可靠度达到要求。
解:先计算无检验时的综合可靠度,再通过假设的显著性检验保证综合可靠度满足要求。
(1)无检验的综合可靠度
由公式(1)、(2)联合求解可得综合可靠度:
可见,此时综合可靠度不能满足要求,下面用假设的显著性检验方法使综合可靠度达到可靠性要求。
(2)假设的显著性检验保证综合可靠度
联合应用公式(1)、(3)、(4),通过调节显著度α和样本容量n,使综合可靠度满足要求。计算结果列入表1。
表1
| n | 3 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 12 |
| α | 0．25 | 0．25 | 0．20 | 0．15 | 0．125 | 0．10 | 0．075 | 0．05 |
| pr | 0．997 8 | 0．998 5 | 0．999 0 |
表1结果表明,只要适当调节检验的显著度α和样本容量n,就能够保证系列产品的综合可靠度,如在本例中可取(n＝9，α＝0．10)使综合可靠度达到0．999。其实质是通过控制检验的严格程度,把那些平均质量差的产品剔除掉。如图2所示,对于某一拒绝域临界值,产品质量均值越低,拒绝它的可能性越大;相反,质量均值越高,接受它的可能性越大,通过公式(4)总能找到一x*j（由表1中一对n，α组合确定）,使综合可靠度满足要求。系列产品均值分布f（μ）需要通过大量数据及工程经验确定,其分散度对结果的影响反映了质量控制水平对综合可靠度的重要意义［3］。文献［3］还尝试将假设检验思想用于解释疲劳寿命分散系数理论值与实际值的差异上,也得到较满意的结果。本文的公式推导采用正态分布,但这种方法应用并不仅限于正态分布,其它分布形式也可应用,关键是要能得到假设检验的合适统计量。
图2 检验的拒绝域示意图
3 结论
对于分批生产的相似系列产品,可以采用本文提出的假设的显著性检验方法保证综合可靠度满足可靠性要求。该方法强调利用以往的信息及经验,反映质量控制在提高产品可靠度方面的重要性,其思想也可推广应用于其它可靠性问题。
作者简介：崔卫民，男，1969年11月出生，西北工业大学，固体力学博士后
** 航空科学基金资助项目
作者单位：西北工业大学飞行器结构强度研究所 西安 710072
参考文献
1 诸德培.飞机结构可靠性研究中的经验因素.西北工业大学科技资料,shj8735，1987
2 中国航空科学技术研究院编著.飞机结构可靠性分析与设计指南.西北工业大学出版社,1995:86～109
3 崔卫民.结构高可靠性子样试验若干统计推断问题.西北工业大学博士学位论文,1998:15～37
4 盛 骤等.概率论与数理统计(第二版).高等教育出版社,1995
