1 nurbs曲线、曲面造型方法
1．1 nurbs曲线方程
一条p阶nurbs曲线被定义作:
式中:｛pi｝——控制点(形成控制多边形);
｛ωi｝——权因子;
｛ni，p（u）｝——p阶b样条基函数,其节点矢量为:
u＝｛a，…，a，up＋1，…，um－p－1，b，…，b｝
除非另述,一般假定a＝0，b＝1及对于所有的i都有ωi＞0。
令:
则nurbs曲线方程还可写作:
1．2 nurbs曲面方程
u向p阶、v向q阶的nurbs曲面定义为:
式中:｛pi，j｝——构成曲面控制点网;
｛ωi，j｝——权因子;
｛ni，p（u）｝、｛nj，q（v）｝——p阶、q阶b样条基函数,其节点矢量为:
u＝｛0，…，0，up＋1，…，ur－p－1，1，…，1｝
v＝｛0，…，0，vq＋1，…，vs－q－1，1，…，1｝
这里,r＝n＋p＋1，s＝m＋q＋1。
令:
nurbs曲面方程还可写作:
2 nurbs曲线、曲面的数据结构
nurbs曲线的属性信息有:次数k，控制点d，权因子w和节点矢量u。nurbs曲面的属性信息有:次数k、l,控制点di,j，权因子wi,j和节点矢量u，v。能否管理好nurbs曲线、曲面,取决于能否对这些属性信息进行有效的组织和管理。而要对曲线、曲面进行方便、有效的管理和计算,良好的数据结构是必不可少的。
nurbs曲线、曲面数据结构图如下:
nurbs数据结构图
nurbs曲面数据结构图
这种数据结构形式具有如下几个优点:
(1)运算灵活,便于修改;
(2)易于检索、提高运算速度;
(3)结构简单、便于维护。
3 曲线、曲面数据结构的编程实现
不难看出,上述曲线、曲面数据结构均为双链表结构,并且链表内还包括若干个双链表,如控制点链表、节点链表等。传统的用c语言实现的双链表结构突出的缺点是不直观,编程比较复杂。因此本文采用vc＋＋指针类型的集合样板类实现这种双链表结构,使得对链表中节点的插入、删除和修改非常直观。
3．1 用vc＋＋表示的nurbs曲线的数据结构:
class curve｛
public：
int curveno； ／*曲线号*／
int k； ／*曲线次数*／
controlpointcp； ／*控制点指针*／
knotvectorkv； ／*节点矢量指针*／
｝
class controlpoint
｛
public：
int vertexno； ／*控制点序号*／
double vertex［3］； ／*控制点坐标*／
double weight； ／*控制点权因子*／
public：
void formatcontrol（cstring＆ str）；
｝；
class knotvector
｛
public：
int knotno； ／*节点序号*／
int multiplicity； ／*节点重复度*／
double knotvalue； ／*节点值*／
public：
void formatknot（cstring＆ str）；
｝；
3．2 用vc＋＋表示的nurbs曲面的数据结构
class surface
｛
controlpoint*up；
controlpoint*vp；
knotvector*ku；
knotvector*kv；
｝
3．3 用vc＋＋指针类型的集合样板类实现双链表结构
我们以控制点链表为例,说明如何用vc＋＋指针类型的集合样板类ctypedptrlist来实现双链表结构。
typedef ctypedptrlist＜cptrlist，controlpoint＞mytypedptrlist；
mytypedptrlist controlpointlist；
那么controlpoint__list为一个空的双链表。我们可以用ctypedptrlist类中的成员函数addtail()、removetail()、insertbefore()、insertaft-
er()、getnext、getprev等对表中的数据进行添加、插入和删除等操作。
例如向表中添加一个控制点:
controlpoint*pcontrol＝new controlpoint；
pcontrol－＞vertexno＝m_vertexno；；
pcontrol－＞vertex［0］＝m_vertexx；
pcontrol－＞vertex［1］＝m_vertexy；
pcontrol－＞vertex［2］＝m_vertexz；
pcontrol－＞weight＝m_weight；
controlpoint_list．addtail（pcontrol）；
如果插入一个控制点:
controlpoint_list．insertbefore（pos，pcontrol）；
如果删除一个控制点:
controlpoint_list．removeat（pos，pcontrol）；
因此用vc＋＋指针类型的集合样板类ctypedptrlist对双链表进行操作简单、直观,不容易出错。其它链表均可照此处理。
图1 控制点对话框
4 控制点、节点的可视化实现
为了能够实现对控制点、节点链表实时进行插入、删除和修改等操作,将这些操作同对话框联系起来。也就是说,对对话框上控件的操作,就相当于对控制点、节点链表进行相应的操作,从而使对控制点、节点链表实时进行插入、删除和修改等操作的过程可视化。
我们以控制点链表和对话框之间的联系为例,说明利用vc＋＋实现控制点链表的插入、删除和修改等操作过程的可视化。
(1)建立如图1所示的对话框,对话框中有按钮add、insert、update、removeat、removeall,可对控制点链进行操作;有组合框可显示控制点链表中的数据;
(2)建立与对话框相联系的类cmodifiervertex，同时编写与按钮相关的成员函数onadd（）、oninsert（）、onupdate（）、onremoveat（）和onremoveall（）；
（3）将控制点链表中的数据在组合框中显示出来。以添加操作为例,vc＋＋代码如下:
void cmodifiervertext：：onadd（）
｛
∥todo：add your control notification handler code here
if（updatedata（）！＝true）
return；
controlpoint*pcontrol＝new controlpoint；
pcontrol－＞vertexno＝m_vertexno；；
pcontrol－＞vertex［0］＝m_vertexx；
pcontrol－＞vertex［1］＝m_vertexy；
pcontrol－＞vertex［2］＝m_vertexz；
pcontrol－＞weight＝m_weight；
controlpoint_list．addtail（pcontrol）；
addtolistbox（pcontrol）； ／*将数据添加到组合框*／
｝
这样无论何时按系统菜单modifier中的下拉菜单vertex,都会看到控制点的数值、个数,为造型提供参考。
5 实例
利用可视化方法建立nurbs曲线、曲面造型系统,对哈尔滨制氧机厂加工的叶轮进行三维实体造型,并通过vc＋＋调用opengl图形库中的函数对其进行渲染,完成后如下图2所示,同时提供数控加工数据。
图2 叶轮的nurbs造型
6 结论
(1)运用vc＋＋指针类型的集合样板类ctypedptrlist处理双链表的新方法,使得对双链表的操作变得简单、直观;
(2)由于造型过程的可视化,使设计者可随时按要求修改、插入和删除控制点、节点而达到设计要求。
** 博士学科点专向科研基金（资助号：98021332）资助项目。
作者单位：哈尔滨工业大学机电学院 哈尔滨 150001
参考文献
1 les piegl wayne tiller．the nurbs book，1995
2 ori gurewich，nathan gurewich．精通visual c＋＋2．0 for windows95．学苑出版社,1995
3 microsoft corporation．visual c＋＋2．0 for win32大全
(二)——用mfc和win32编程.清华大学出版社,1996
4 孙家广等.计算机辅助几何造型技术.清华大学出版社,1988
5 jackie neider，tom davis，mason woo．opengl program-ming guide．addison welsey，1993
6 silicon graphics，inc．opengl refrence manual．addison
welsey，1993
