分类号：tk123文献标识码：a
文章编号：1001－2060（2000）02－0107-03
a study of the irreversible factor of a finite-time endo-irreversible carnot engine
yang yushun, et al
（harbin institute of technology）
abstract：deduced in this paper is the calculation formula of an irreversible factor for a finite-time endo-irreversible carnot engine. meanwhile, it is pointed out that at the maximum engine power the irreversible factor cannot be determined by using only the temperature of the high and low-temperature heat source. to make such a determination possible, one has to know the temperature of one end of a system's circulating working-medium. the calculation of a specific example shows the validity of the irreversible factor calculation formula. the latter can somehow serve as a helpful guide during the computation of the irreversible loss and thermal efficiency of the finite-time endo-irreversible carnot engine.
key words：finite-time thermodynamics, irreversible factor, irreversible loss▲
1 引言
加拿大学者curzon和ahlborn在1975年推导出了有限时间内可逆卡诺热机在最大输出功率时的ca效率即
，这是有限时间热力学最早和最著名的结论。国外许多学者把热机的不可逆损失分为外部和内部两种。外部不可逆损失产生于循环系统和两热源之间的温差。内部不可逆损失主要是由流体粘性和机械摩擦等耗散因素造成的［1］。curzon和ahlborn推导出的ca效率只考虑了热机的外部不可逆损失，却没有考虑内部不可逆损失。后来，许多学者在此基础上用不可逆因子来描述内不可逆损失对内不可逆卡诺热机进行研究，但是，以往的处理只知不可逆因子是一个大于零而小于1的估计值而无法精确计算。
作者认为不可逆因子是解决内部不可逆损失的关键所在，而且必须通过不可逆因子的求解才能求出有限时间内不可逆卡诺热机的熵产、效率和系统运行时间。
2 几种描述内部不可逆损失因子的方法
曾经有许多方法用于解释和计算由耗散因素造成的热机内部不可逆损失。最早是美国的ei－wakil在1962年时用换热时的不可逆熵变和可逆熵变的关系来描述内部不可逆损失［1，2］：
δ
l′／δ
l=1+i (1)
δ
l′为内部不可逆时的熵变；δ
l为内部可逆时的熵变；i表示由内部不可逆损失造成的不可用能部分。
由此可得热效率为：
η=1-(i+1)tl／th(2)
英国的howe在1981年引入了一个小于1的因子ψ来修正内不可逆热机最大功率时的效率［1，2］：
η=ψ［1-tlc／thc］ (3)
1989年，厦门大学的严子浚提出不可逆度i来表示内不可逆热机中内部不可逆损失，即［2，3］：
η=1-itlc／thc(4)
另一种方法是美国的ibrahim等人在1991年引入的不可逆因子
［1］：
(5)
显然当
=1表示内部可逆时，0＜
＜1表示内部不可逆时。
与
相联系的熵产δ
p和热效率η可得：
(6)
(7)
，i，i和ψ之间的联系也可得出：
i=1／
(8)
(9)
(10)
图1 有限时间内不可逆卡诺热机分析图
但是，以往的处理方法都没有给出描述热机内部不可逆损失的不可逆因子(i,φ，i， )的计算式，因而也无法求出其具体的数据。
3 有限时间内不可逆卡诺热机不可逆因子的推导
由热力学第一、第二定律可得：
 h=(ua)h(th-thc) (11)
 l=(ua)l(tlc-tl) (12)
w=(ua)h(th-thc)-(ua)l(tlc-tl) (13)
 (14)
式中，(ua)h和(ua)l分别为单位时间的热源与系统热端及冷端的总换热系数即传热系数和面积的乘积，量纲为j／(k.s)。
由拉格朗日乘数法，求得最大输出功率时的系统循环工质热端的温度表达式为［1］：
 (15)
经数学推导得到：
 (16)
则得：
 (17)
同理有［1］：
 (18)
经数学推导得到：
 (19)
若已知有限时间内不可逆卡诺的高温热源温度th为1 200 k，冷源温度tl为300 k，系统循环工质的冷端温度tlc为400 k，单位时间内系统的热端总换的热系数(ua)h为300 kj／k。若还知单位时间内系统循环工质冷端的总换热系数(ua)l为310 kj／k。则可以计算出此有限时间内不可逆卡诺热机在最大输出功率时的不可逆因子，再由不可逆因子计算出与最大功率相匹配的系统循环工质热端的温度thc的大小。
由公式(19)得：
 (20)
则，不可逆因子 为：
 =0.7682=0.589 (21)
再由不可逆因子求系统循环工质热端的温度thc的大小，由公式(16)：
 (22)
由公式(7)可求出此有限时间内不可逆卡诺热机最大输出功率时的效率：
 (23)
对于有限时间内可逆卡诺热机最大输出功率时的效率为：
 (24)
对于经典热力学的卡诺效率：
 (25)
若系统冷端的总换热系数(ua)l为350 kj／k，则不可逆因子的大小为：
 (26)
则得不可逆因子 为0.6196，并算出效率η为0.3648，thc=1016.2 k；因为不可逆因子 越大，则不可逆损失越小，热机的效率越高。由此计算得出的值可知对于内不可逆卡诺热机，系统冷端的总换热系数(ua)l越大于系统热端的总换热系数(ua)h时，系统的不可逆损失才能够越小。
仿照以上的计算过程，表1给出了在(ua)h=300kj／k，tl=300k不变时，对应不同的th，tlc，(ua)l时的 ，η及thc的值。从此表可以进一步看出，在th，tl，tlc和(ua)l不变的条件下，只有提高循环工质冷端的总换热系数(ua)l，才能提高循环的热效率。
表1 有限时间内不可逆卡诺热机不可逆因子计算表
| (ua)l | th | 1600 | 1400 | 1200 | | tlc | 400 | 380 | 350 | 400 | 380 | 350 | 400 | 380 | 350 | | 300 |  | 0.4041 | 0.3463 | 0.2757 | 0.4773 | 0.4049 | 0.3188 | 0.5836 | 0.4877 | 0.3780 | | thc | 1453.2 | 1491.3 | 1593.4 | 1250.8 | 1290.0 | 1339.0 | 1047.2 | 1088.3 | 1138.5 | | η | 0.3188 | 0.2642 | 0.1753 | 0.3299 | 0.2725 | 0.1802 | 0.3455 | 0.2840 | 0.1868 | | 350 |  | 0.4200 | 0.3557 | 0.2759 | 0.5002 | 0.4180 | 0.3240 | 0.6169 | 0.5073 | 0.3854 | | thc | 1425.4 | 1471.4 | 1528.8 | 1221.7 | 1269.6 | 1328.3 | 1016.2 | 1067.1 | 1127.5 | | η | 0.3318 | 0.2739 | 0.1810 | 0.3455 | 0.2840 | 0.1868 | 0.3648 | 0.2980 | 0.1946 | | 400 |  | 0.4377 | 0.3658 | 0.2835 | 0.5264 | 0.4323 | 0.3294 | 0.6237 | 0.5291 | 0.3931 | | thc | 1396.3 | 1451.0 | 1518.0 | 1191.0 | 1248.5 | 1317.3 | 982.9 | 1044.8 | 1116.4 | | η | 0.3455 | 0.2840 | 0.1868 | 0.3619 | 0.2959 | 0.1935 | 0.3856 | 0.3126 | 0.2026 |
4 结论
(1)推导出了在最大功率输出条件下的有限时间内不可逆热机不可逆因子的计算式，从而可使这一不可逆因子从定性估计到定量计算。
(2)在换热条件不变的条件下，只有给出热源温度、冷源温度和循环工质的某一端温度，才能计算出不可逆因子的数值。
(何静芳 编辑)■
作者简介：杨玉顺(1948-)，男，河北人，哈尔滨工业大学能源学院教授.从事工程热物理、不可逆过程热力学研究工作.
作者单位：杨玉顺（哈尔滨工业大学，黑龙江 哈尔滨 150001）
刘仕强（哈尔滨工业大学，黑龙江 哈尔滨 150001）
参考文献：
［1］ibrahim o m，llein s a，mitchell j w.optimum heat power cycles for specified boundary conditions.j.of engineering for gas turbines and power.1991,10(113):514～521
［2］陈林根，孙丰瑞，陈文振.关于ca效率、不可逆热机和有限时间热力学发展.热能动力工程，1993，8(3)：162～164
［3］严子浚.ηλp最大时不可逆卡诺热机的η和p.热能动力工程，1989，4(6)：1～6 |
