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原作者:山东建材学院 章希胜　武震　张景春   出处:

【论文摘要】传递动力的高副机构，如摩擦轮、凸轮齿轮、链轮传动、滚动轴承、滚动螺旋等，都有接触强度问题，自然也涉及到接触应力。在此对接触应力计算作较为全面的讨论。

1　任意两曲面体的接触应力

   1.1　坐标系

　　图1所示为一曲面体的一部分，它在E点与另外一曲面体相接触，E点称为初始接触点。取曲面在E点的法线为z轴，包括z轴可以有无限多个剖切平面，每个剖切平面与曲面相交，其交线为一条平面曲线，每条平面曲线在E点有一个曲率半径。不同的剖切平面上的平面曲线在E点的曲率半径一般是不相等的。这些曲率半径中，有一个最大和最小的曲率半径，称之为主曲率半径，分别用R′和R表示，这两个曲率半径所在的方向，数学上可以证明是相互垂直的。平面曲线AEB所在的平面为yz平面，由此得出坐标轴x和y的位置。任何相接触的曲面都可以用这种方法来确定坐标系。由于z轴是法线方向，所以两曲面在E点接触时，z轴是相互重合的，而x₁和x₂之间、y₁和y₂之间的夹角用Φ表示(图2所示)。

图1　曲面体的坐标

图2　坐标关系及接触椭圆

   1.2　接触应力

　　两曲面接触并压紧，压力P沿z轴作用，在初始接触点的附近，材料发生局部的变形，靠接触点形成一个小的椭圆形平面，椭圆的长半轴a在x轴上，短半轴b在y轴上。椭圆形接触面上各点的单位压力大小与材料的变形量有关，z轴上的变形量大，沿z轴将产生最大单位压力P₀。其余各点的单位压力P是按椭圆球规律分布的。

其方程为　　
单位压力　　
总压力　　P_总＝∫PdF
　　∫dF从几何意义上讲等于半椭球的体积，故
　　
　　接触面上的最大单位压力P₀称为接触应力σ_H
　　　（1）

　　a、b的大小与二接触面的材料和几何形状有关。

2　两球体的接触应力

　　半径为R₁、R₂的两球体相互接触时，在压力P的作用下，形成一个半径为a的圆形接触面积即a＝b(图4)，由赫兹公式得

式中：E₁、E₂为两球体材料的弹性模量；μ₁、μ₂为两球体材料的泊松。

图4　两球体外接触　

　　取综合曲率半径为R，则
　　
　　若两球体的材料均为钢时，E₁＝E₂＝E，μ₁＝μ₂＝μ＝0．3，则

　　　（2）

　　如果是两球体内接触(图5)，综合曲率半径为，代入式(2)计算即可求出接触应力σ_H。如果是球体与平面接触，即R₂＝∞，则R＝R₁代入式(2)计算即可。

图5　两球体内接触

3　轴线平行的两圆柱体相接触时的接触应力

　　轴线平行的两圆柱体接触时，变形前二者沿一条直线接触，压受力P后，接触处发生了弹性变形，接触线变成宽度为2b的矩形面(图6)，接触面上的单位压力按椭圆柱规律分布。变形最大的x轴上压力最大，以P₀表示，接触面上其余各点的压力按半椭圆规律分布，如图7，
半椭圆柱的体积等于总压力P，故

图6　两圆柱体接触

图7　轴线平行的两圆柱体相接触的压力分布

　　最大单位压力

　（3）

　　由赫兹公式知

代入式(3)，得

　　若两圆柱体均为钢时，E₁＝E₂＝E，μ₁＝μ₂＝0．3，取则接触应力为

　　若为两圆柱体内接触(图8)，则以代入式(4)计算。若是圆柱体与平面接触，则R₂＝∞，R＝R₁代入式(4)计算。

4　机械零件的接触应力计算

   4.1　摩擦轮传动

　　金属摩擦轮传动失效的主要形式是滚动体表面的疲劳点蚀，常按接触疲劳强度设计，来验算滚动体接触表面上的接触应力。对于圆盘与摩擦轮的传动(图9)，将滚动体的压紧力代入赫兹应力公式，可得

图8　两圆柱体内接触

图9　圆盘与摩擦轮接触

　　式中：T为摩擦轮轴上转矩；f为摩擦系数；b为接触长度；S为摩擦力裕度，在动力传动中取1.25～1.5，在仪器传动中取不大于3。
4.2　齿轮传动
　　一对齿轮在节点外接触，相当于半径为ρ₁、ρ₂的两个圆柱体相接触(图10)，因此也用式(4)来求接触应力

图10　一对齿轮在节点处接触的接触应力

　　代入式(4)，便可得出轮齿表面的接触应力公式，进而导出齿轮传动接触强度的设计计算式。

    4.3　凸轮机构

　　凸轮机械中滚子与凸轮工作面也存在着接触应力，也可以用式(4)进行校核

    式中：q＝P／L，P为凸轮与推杆间在所校核的接触处的法向压力，常见的直动滚子推杆盘形凸轮机构法向压力如图11所示。

    式中：Q为推杆上的载荷；α为压力角；f为导槽与推杆间摩擦系数；L_a为推杆上滚子中心伸出导槽的长度。

   4.4　滚柱式离合器(图12)

　　当离合器进入接合状态时，滚柱被楔紧在星轮和套筒间，靠套筒随星轮一同回转。

　　星轮工作面的坐标为作用在滚柱的力对离合器轴心的力臂为
若传递的传矩为M_k时，作用在滚柱上的力为

　　滚柱和星轮的接触是圆柱体和平面相接触，所以综合曲率半径单位长度的载荷q＝Q／L，代入式(4)即可得出滚柱和星轮间的接触应力公式

     式中：L为滚柱长度；d为滚柱直径。

    4.5　滚动轴承的滚动体与滚道间的接触应力
　　滚子轴承的滚子与内环的接触相当于两圆柱体外接触(图13)，综合曲率半径单位长度上的载荷代入式(4)，便可得出受力最大的滚子与内环接触处的接触应力

式中：P为受力最大的滚子所承受的力；L为滚子工作长度。

图13

5　结语

　　(1)通过对曲面间高副接触应力的分析，对赫兹公式进一步作了改进，得到了4个接触应力计算公式。
　　(2)有些机械零件，如上述讨论的齿轮，摩擦轮、滚动轴承等都是工作在高的接触压力作用下，经过多次接触应力循环下，局部表面将发生小片或小块金属剥落，形成麻点或凹坑，使零件工作时噪音增大，振动加剧。本文对以上这类零件的接触应力都给出了具体的计算公式。