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stewart平台最大运动范围的研究

运动范围的大小，是衡量stewart六自由度平台的一项重要指标。近些年来，许多文章对其运动范围进行了比较深入的讨论，但多数都局限在研究运动范围的计算方法上，而讨论结构尺寸与运动范围之间关系的文献，却还未曾见到。机构的结构尺寸与运动范围的大小密切相关，合理的结构尺寸，一方面应能使机构具有大的运动范围，另一方面又不使机构出现机械干涉现象。本文从运动学的观点出发，在机构的连杆间不出现机械干涉的前提下，对stewart六自由度平台的最大运动范围进行无量纲化分析。
1 stewart平台的无量纲表示
一个典型的stewart运动平台如图1所示。它由顶点为si（i＝1，2，…，6)的六边形运动平面，顶点为bi（i＝1，2，…，6)的六边形固定平面，和一端通过球铰、另一端通过十字铰将它们连接起来六只长度能够变化的连杆组成。实际应用中，连杆多采用液压缸。对液压缸活塞杆的行程进行控制，即能使运动平面实现空间六个自由度的运动。

图 1 stewart运动平台的示意图 由于这类运动机构在实际工作中所面临的任务具有多样性和不确定性，它的设计一般都采用对称的结构形式，即运动平面与固定平面均是一个具有一定对称形式的六边形。设运动平面的六个顶点si（i＝1，2，…，6)分布在半径为r1的圆上，相临的圆心角为α1、β1；固定平面的六个顶点bi（i＝1，2，…，6）分布在半径为r2的圆上，相临的圆心角为α2、β2。参考坐标系oxyz，与固定平面相固连；运动坐标系orxryrzr，则固连在运动平面上。取x轴与边b3b4平行，xr轴与边s3s4平行。用（i＝1，2，…，6）表示运动平面上的向量orsi在参考坐标系oxyz中的三维向量，用表示相应的向量在运动坐标系orxryrzr中的三维向量。与之间存在着下面关系： （1） 这里r为运动坐标系orxryrzr对参考坐标系oxyz的变换矩阵。运动坐标系orxryrzr的原点or在参考坐标系oxyz中的位置用向量来表示，则六只液压缸的缸长li（i＝1，2，…，6）为： （2） 为使后面的分析具有普遍性，对stewart运动平台的结构参数，进行相对于固定平面半径r2的无量纲化处理。运动平面的无量纲半径用r1与r2的比例λ表示；液压缸的无量纲最小长度用其最小长度与r2的比值lmin表示；液压缸的无量纲最大长度用其最大值与r2的比值lmax表示。由文献［1］知，α1、α2取值愈小，愈有助于降低机构的雅可比矩阵条件数的值，提高其运动控制精度。所以，我们结合实际的stewart平台的结构特点，在这里取α1＝α2＝5°。 2 机构的干涉 stewart平台的运动范围，由机构的结构参数、液压缸的最小长度、最大长度、铰链转动的角度等因素决定。当机构的结构参数、铰链的形式确定的情况下，平台的运动范围就由六只液压缸的长度所决定。合理的运动平台，在六只液压缸处于任意长度时，均应不出现机械干涉现象。一旦出现机械干涉，对于采用液压缸驱动的stewart平台，在巨大的液压缸输出力及杠杆效应的双重作用下，常常会导致铰链的损坏。 stewart平台出现机械干涉的类型主要有以下两种；①运动平面无法构成导致的干涉；②液压缸的摆动角超出铰链的转动角度范围导致的干涉。第二种干涉，因与具体的铰链结构有关，这里不作进一步讨论。下面主要讨论平台在不出现第一种干涉的情况下，所能够获得的最大运动范围。 由于stewart平台的闭式正向解的表达式非常繁琐［2］，从理论上推出六只液压缸的长度与机构出现第一种干涉之间的关系是很困难的。通过对多种结构形式的stewart平台计算，发现出现第一种干涉的最危险状态，是它的六只液压缸的长度处于最大值或最小值的情况。这一点直观上也容易理解，平台的任意相邻两个液压缸与相应的上下铰链构成的空间四边形共有六个，它们的上铰链之间的连线要满足运动平面的共面要求。若相临两个液压缸的长度分别为最大和最小值时，相应的空间四边形的形状是最为歪斜的，因而也最难满足运动平面的共面要求。 六只液压缸的长度分别取为最大值和最小值时，平台相应的组合形态有26之多。在这么多种组态中，许多是本质相同的。根据组合数学的理论［3］及平台的特性，本质不同的组态只有（26＋2．22＋3．24＋6．22）／12＝12个。限于篇幅，这里不一一列举这些组态。我们只需判断这12种组态是否全部实际存在，即能得出机构是否出现第一种机械干涉的结论。 3 平台的运动范围

已知六只液压缸的长度，求stewart平台的空间位置和姿态，称为平台的正向求解。正向求解的方法主要有闭式法求解和迭代法求解。本文采用文献［4］给出的一种效率比较高的、改进的迭代方法进行正向求解。即先求接近准确值的初始值，再对(2)式通过2次左右的迭代，来得到平台准确的空间位置和姿态的求解方法。 当平台的结构一定，液压缸长度的无量纲最小值lmin应满足(3)式，才能保证机构不出现机械干涉： （3） 把平台的12种组态是否实际存在，即有无正向解，作为确定液压缸长度的最大无量纲值lmax的判断条件，通过一维搜索方法，可以得出lmax满足判断条件的临界值。 图(2)给出的是α1＝α2＝5°、r1＝0．75时，lmix从0.85增大到2.5时，lmix与lmax、运动平面的最大平移量、最大转角之间的关系。在图2a中，pzmax、pzmin分别表示运动平面沿z轴平移的最大值和最小值；pymax、pymin则分别表示运动平面沿y轴平移的最大值和最小值；pxmin表示运动平面沿x轴平移的最小值，其最大值与最小值的符号相反。图2b中，xmax、xmin表示运动平面沿x轴转动的最大角度和最小角度；ymax表示运动平面沿y轴转动的最大角度，zmax表示运动平面沿z轴转动的最大角度，沿这两根轴转动的最小角度分别为最大角度的负值。 （a）lmin与lmax运动平面平移量的关系（b）lmin与运动平面最大转关系 图 2lmin与运动平面最大平移量、最大转角的关系 从图2可以看出，当lmin＞1．3以后，pzmax、pzmin、lmax随着lmin的增大而近似线性增大；pymax、pymin与pxmin则保持不变；xmax、zmax、ymax逐渐变小。另外，转角的最大值与xmax的变化趋势一致。 提高运动平面的最大平移量，在实际应用中比较容易得到，可以简单地通过增大stewart平台的结构尺寸获得。转动角度的提高则需要优化平台的结构尺寸、液压缸的最大值和最小值才能获得。由于xmax的变化趋势与其它最大转角的变化趋势相同，下面针对xmax的变化情况进行分析。图3给出的是lmin在［1．0，2．4］范围内变化、λ在［0.4，1］范围内变化时，xmax、lmax与它们的关系曲线。 (a) (b) 图 3lmin与λ、xmax、lmax的三维图 从图3a可以看出，当λ一定，lmax与lmin呈近似线性关系，并在lmax＝1.97处有一个明显的折点。图3b则表明xmax在lmin和λ变化范围内有最大值x'max。x'max与lmin、lmax和λ之间有下面近似关系： 当lmin＝2．0－λ，lmax＝1．97，λ∈（0．5,1．0）时，x'max＞38°，。 4 结论 通过以上分析，我们可以得出以下结论： (1) stewart平台的最大运动范围与其结构形式、液压缸的长度变化范围密切相关； (2) 在机构不出现机械干涉的条件下，液压缸的最大长度与最小长度为近似的线性关系。 (3) 当液压缸的最小长度和最大长度确定以后，各个铰链所应提供的最大运动角度可以通过求极值的方法得到，从而在设计铰链时采取措施避免第二种干涉的出现。 (4)当上下两平面的半径比λ∈（0．5，1．0），lmin＝2．0－λ，lmax保持在1.97时，平台能够获得最大的转动角度且不出现机械干涉现象。 因此，在我们设计stewart平台时，若使平台具有尽可能大的运动范围，结构参数、液压缸的选取，应参考x'max与lmin、lmax和λ之间的相互关系，以使平台的最大运动范围达到使用要求且运动机构无机械干涉现象。

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