a practical method for three-phase asymmetrical harmonic
power flow in power system
yu jianming , gao xin , yang wenyu
(xi’an university of technology , xi’an 710048)
abstract: based on the decoupling of fundamental power flow and harmonic power flow, a separate iteration method for calculating three-phase asymmetrical harmonic power flow in power system is presented. in this method, the three-phase fundamental power flow is calculated using the three-phase pq decoupled algorithm in which the sparse and symmetrical matrix handling technology and three-phase factor table are used; while the three-phase harmonic power flow is solved by gaussian elimination method with linear three-phase nodal voltage equation. the calculation results of an actual power system example demonstrate that this separate iteration method has higher speed, less occupied memory and better convergence.
keywords: asymmetry fundamental power flow harmonic power flow
1 引 言
由于电力电子技术的飞速发展，大量的非线性电力负荷使得电力系统中某些地区或网络的谐波问题日益严重。尤其是电气化铁道的迅猛发展，使得电力系统的三相对称关系发生了明显的变化，电力机车牵引负荷是波动性很大的大功率单相整流负荷，其不对称性和非线性所产生的负序与谐波问题严重地威胁着电力系统的安全运行[1]。因此，对电力系统三相不对称谐波潮流进行计算是对谐波问题分析和管理的一项重要基础工作。
谐波潮流是由基波潮流在非线性元件中转化产生的，它只占系统潮流的一小部分[2]。谐波源向系统提供的谐波功率来自于谐波源从系统吸取的基波功率，谐波潮流的改变会影响到基波潮流，进而谐波潮流再次变化，因此，理论上，基波潮流应和谐波潮流交替进行迭代，每进行一次基波迭代，谐波迭代要进行数次，使得谐波潮流趋于收敛，最终使谐波源节点的基波功率也趋于收敛。然而，这种交替进行迭代的方法不仅计算量大，程序编制复杂，而且最大的问题在于其收敛性，这主要是因为谐波潮流在数值上与基波潮流相差很大，交替迭代很容易出现不收敛的情况。
在基波潮流与谐波潮流的耦合关系中，基波潮流对谐波潮流的影响大，而谐波潮流对基波潮流的影响小。所以，从工程实际出发，可以先不考虑谐波潮流对基波潮流的作用，首先进行基波潮流计算，确定出基波潮流对谐波潮流的作用，然后再进行谐波潮流计算，这样就将基波潮流与谐波潮流的交替迭代转化为分离迭代，即实现了基波潮流和谐波潮流的解耦。本文根据以上作为基础，提出了一种电力系统三相不对称谐波潮流计算的实用方法，编制了相应的计算程序，进行了实例计算，结果表明，该算法内存占用少，计算量小，且具有可靠的收敛性。
2 谐波源模型
电力系统中的谐波源主要是大型的整流装置，这些谐波源产生的谐波电流基本上只取决于它们的工作条件和外加电压，与外电路的阻抗关系不大，可以将这些谐波源看作为内阻抗为无穷大的电流源。本文以国产ss4型电力机车为研究对象，文献[3]中详细地建立了该机车的数学模型，得出了机车注入接触网总的取用电流，由于机车总的取用电流是时间的奇对称函数，所以傅里叶分解后只含有奇次项。对于确定的机车运行状态，机车的取用电流是基波电压及各次谐波电压的函数[4]，所以，傅里叶分解后所得的机车基波和各次谐波电流就只和基波电压及各次谐波电压有关，而与机车具体的运行参数及运行条件无关，即：
（1）
由上式可以看出，基波电压影响机车谐波电流，而谐波电压也影响机车基波电流，即基波潮流与谐波潮流是相互耦合的，但其中基波电压对谐波电流的影响大，而谐波电压对基波电流的影响却很小，从工程上的角度出发，就可以忽略谐波电压对基波电流的影响，将(1)式分解，从而可以将机车的基波电流和谐波电流分别表示为：
（2）
（3）
在谐波不严重的情况下甚至可以将(3)式进一步表示为：
（4）
这样，在计算基波潮流时，可以先不考虑谐波的影响，而基波潮流计算完毕后，它对谐波潮流的影响也就确定了，然后再进行谐波潮流计算，从而实现了基波潮流和谐波潮流的解耦。
电力机车所产生的谐波电流是经过接触网和牵引变压器送入电力系统的，接触网的阻抗和牵引变压器的接线方式对注入系统的电流具有很大影响。本文在实际计算中，考虑了接触网和yn,d11以及yn,v等常用接线方式的牵引变压器数学模型。
3 电网元件的三相谐波模型
3.1 发电机模型
理想的发电机，其电动势可以认为是纯正弦的，即不含高次谐波，因而发电机电势只存在于基波网络中。谐波网络中发电机是以谐波负载形式出现的，可以用一个接地阻抗来表示。当k次谐波电流流入发电机定子绕组时，其正、负序谐波在定子中产生的磁场与转子作k±1倍同步速的相对运动。这时，发电机的谐波电抗可近似认为是基波负序电抗的k倍。发电机一般经yn，d变压器与系统相连，零序电流不能流入，此时零序谐波阻抗为无穷大。当需计及发电机的电阻和损耗时，可按阻抗角为85°来估计其谐波电阻。发电机为对称元件，其相参数可由序参数换算而来。
3.2 电线路模型
输电线路采用三相π形等值电路模型。当谐波次数较高且线路较长时，应考虑线路参数的分布特性。对此，本文采用双曲函数来计算。三相输电线路中，单位长度串联阻抗和并联导纳都是3×3阶的方阵，其传播常数也是一个矩阵。输电线路的相间参数往往不可能直接得到，而各序参数较容易得到，因而也可由序参数变换后获得相参数。
3.3 变压器模型
在三相潮流计算中，变压器可近似看作对称元件，对于大型变压器还可忽略其励磁支路。在谐波作用下，变压器的等效电感近似认为不变，其谐波电抗与谐波次数成正比。而绕组的集肤效应和铁心的涡流损耗等在谐波作用下会有所增大，一些统计资料表明[5]，变压器谐波等值电阻大致与谐波次数的平方根成正比。则变压器的n次谐波阻抗可表示为：
（5）
式中 n为谐波次数；rt1,xt1分别为变压器的基波电阻和电抗。
需特别注意变压器接线方式对各序分量会引起不同的转角。本文首先从序分量出发，再进行序相变换，最后得到变压器支路的三相导纳子矩阵。
3.4 负荷模型
在谐波网络中，非线性负荷作为注入电流源考虑，其他非谐波源类型的综合负荷可用接地等值阻抗来模拟。与同步发电机一样，非谐波源负荷也为系统中的谐波电流提供并联通路，并可等效成接于系统母线的并联阻抗元件，由3×3节点导纳阵描述。由于电动机在负荷中占较大比例，一般认为，综合负荷对正序谐波电流和负序谐波电流呈现相同的阻抗，而对零序谐波电流则呈现很大的阻抗。本文采用电阻和电抗的混合支路来表示负荷模型。
3．5 三相网络的节点导纳矩阵
将电力系统的发电机、变压器、输电线路和负荷都表达为相应的三相谐波模型后，就可构成全系统的三相谐波模型，即可形成n次谐波下的三相节点导纳矩阵y(n)
（6）
其中每个元素都是3×3阶的复子矩阵
，且
。全系统的三相节点导纳矩阵是对称稀疏矩阵，其稀疏性与对称系统中的一样。为节省内存，对其存储应使用压缩存储技术，可以在存储时只存其上三角元素。
4 三相不对称基波与谐波潮流计算
由于实现了三相基波潮流和谐波潮流的解耦，将基波潮流与谐波潮流的交替迭代转化为两者的分离迭代，从而就可以先进行基波潮流计算，然后再进行谐波潮流计算。
4.1 基波潮流计算
与对称系统的潮流计算一样，在三相潮流计算的迭代过程中，亦可将有功和无功分开，采用pq分解法迭代[6]。对于线性的负荷节点，其基波注入功率由所在节点的功率表直接给出；对于谐波源节点，首先根据（2）式得出其基波电流的幅值和相角，进而计算出其吸收的基波有功和无功功率，而且，在基波潮流的迭代过程中，基波电压是不断变化的，而基波电压又对谐波源的基波电流分量有较大的影响，所以，基波潮流每迭代一次，即要重新计算一次基波电流，从而更新谐波源吸收的基波有功和无功功率。
4.2 谐波潮流计算
对于谐波潮流计算，利用三相节点电压方程：
（7）
其中n为谐波次数；h为所要分析的谐波最高次数；
为节点的n次谐波注入电流向量
，其中谐波源节点的注入电流向量为非零值，而非谐波源节点的注入电流向量为零值；
为节点的n次谐波电压向量
；
为三相系统n次谐波导纳矩阵。
考虑到谐波源节点所要分析的谐波最高次数为h，式（3）简化为：
（8）
基波潮流计算完成后，谐波源节点的基波电压
就为已知量，在式（8）中先假设谐波源各次谐波电压的初始值为零，即将（
，0…0）代入式（8），就可求出谐波源注入电网的各次谐波电流的初始值
，将其代入式（7），解线性三相节点电压方程得到系统各节点谐波电压的修正值，其中谐波源节点的各次谐波电压修正值为
，把其再代入式（8）中，得到谐波源各次谐波电流的修正值
，如此经过反复代入，迭代k次以后的谐波源注入电网的各次谐波电流为
，谐波源节点的各次谐波电压修正值为
,当满足一定的收敛精度时，停止迭代，进而得到系统各节点的三相谐波电压和各支路谐波电流。
5 算例分析
根据本文提出的方法，编制了相应的计算程序，并针对某一地区实际电网进行了计算。该系统包含15个节点、15条支路、7个牵引变电站，均由110kv母线供电，10台电力机车。限于篇幅，这里只给出了部分计算结果，如表1和表2所示。
表1 牵引变压器一次侧的三相基波电压与负序电压
节点
名称 |  |  |  |  (%) |
| 1#牵引变 | 1.0301∠-5.58° | 1.0270∠-125.2° | 1.0291∠114.67° | 0.20 |
| 2#牵引变 | 1.0344∠-5.37° | 1.0281∠-125.67° | 1.0275∠114.88° | 0.43 |
| 3#牵引变 | 1.0358∠-4.48° | 1.0317∠-125.03° | 1.0252∠115.44° | 0.60 |
| 4#牵引变 | 1.0367∠-4.53° | 1.0301∠-125.32° | 1.0211∠115.39° | 0.88 |
| 5#牵引变 | 1.0213∠-5.88° | 1.0224∠-125.81° | 1.0228∠114.11° | 0.09 |
| 6#牵引变 | 1.0297∠-4.96° | 1.0297∠-125.50° | 1.0212∠114.77° | 0.55 |
| 7#牵引变 | 1.0461∠-3.46° | 1.0455∠-123.90° | 1.0388∠116.35° | 0.45 |
注：负序电压 为相对于正序电压的百分数 |
表2 牵引变压器一次侧的三相谐波电压（%）（3次、5次、7次）
节点
名称 |  |  |  |  |  |  |  |  |  |
| 1#牵引变 | 0.924 | 1.615 | 0.868 | 2.216 | 0.792 | 2.355 | 0.968 | 0.736 | 0.262 |
| 2#牵引变 | 0.525 | 1.473 | 1.076 | 2.014 | 0.762 | 2.221 | 0.801 | 0.689 | 0.246 |
| 3#牵引变 | 1.107 | 1.211 | 0.207 | 1.415 | 0.178 | 1.322 | 0.328 | 0.320 | 0.222 |
| 4#牵引变 | 1.335 | 1.227 | 0.314 | 0.363 | 1.577 | 1.262 | 0.463 | 0.343 | 0.412 |
| 5#牵引变 | 2.433 | 2.329 | 0.727 | 1.389 | 0.851 | 0.831 | 0.337 | 0.600 | 0.833 |
| 6#牵引变 | 1.712 | 1.769 | 0.349 | 1.536 | 0.412 | 1.194 | 0.161 | 0.430 | 0.406 |
| 7#牵引变 | 0.856 | 0.945 | 0.145 | 1.013 | 0.108 | 0.912 | 0.246 | 0.210 | 0.136 |
| 注：谐波电压为相对于基波电压的百分数 |
6 结 论
本文从工程的角度出发，利用基波潮流和谐波潮流的解耦性，将基波潮流与谐波潮流的交替迭代转化为分离迭代，从而提出了一种求解三相不对称谐波潮流的实用算法。该算法内存占用少，计算量小，且具有可靠的收敛性。本文工作为分析电力系统三相不对称谐波潮流及进一步研究相应的治理措施提供了有力的工具。
作者简介：
余健明 男，1956年生，教授，主要研究方向为配电网综合自动化和电能质量。
高 鑫 男，1975年生，硕士，主要研究方向为电力系统谐波分析。
杨文宇 男，1973年生，硕士，主要研究方向为配电网综合自动化和配电系统可靠性分析。
参考文献：
[1] 吴竞昌. 供电系统谐波. 北京：中国电力出版社，1998
[2] 张直平. 城市电网谐波手册. 北京：中国电力出版社，2001
[3] 豆风梅，李建华. 韶山4型电力机车对电力系统谐波电压和电流的影响 西安交通大学硕士学位论文 1997
[4] 张一中，宁元中，宋永华，等. 电力谐波. 成都：成都科技大学出版社 1992
[5] 许克强，徐云，刘付平. 电力系统高次谐波. 重庆：重庆大学出版社，1991
[6] 赵书强，王钦仁，刘宝仁. 含电力机车负荷的一种不对称潮流计算方法. 电力系统自动化，1994，18（8）：34~39
